Maximiere x^{2}y^3 unter der Bedingung" 2x+3y=12 (x>=0, y>=0)

Question

ich habe folgendes Beispiel..

Angabe lautet: "Maximiere \(x^{2}•y^{3}\) unter der Bedingung" \(2x+3y=12 (x≥0, y≥0)\)..

Für Antworten wirklich dankbar :)

Comments

Bitte Exponenten kontrollieren und Formel nochmals angeben.

Answer 1

Ich nehme an, dass einfach

$$f(x,y)=x^{ 2 }*y^{ 3 }$$

gemeint ist, mit der Bedingung

$$g(x,y)=2x+3y=12$$

 

Zunächst schauen, ob es "kritische Punkte" gibt, also Punkte, an denen der Gradient der Nebenbedingung verschwindet:

$$\nabla _{ x,y }g(x,y)=(2,3)$$

Es gibt offenbar keinen solchen Punkt, der Gradient der Nebenbedingung ist überall konstant und ungleich (0,0).

Nun Lagrange-Funktion ansetzen:

$$\Lambda (x,y,\lambda )=f(x,y)+\lambda (g(x,y)-c)$$$$=x^{ 2 }y^{ 3 }+\lambda (2x+3y-12)$$$$={ x }^{ 2 }y^{ 3 }+2\lambda x+3\lambda y-12\lambda$$

Partielle Ableitungen bilden und gleich Null setzen:

$$\frac { \partial \Lambda  }{ \partial x } =2{ y }^{ 3 }x+2\lambda =0$$$$\frac { \partial \Lambda  }{ \partial y } =3x^{ 2 }y+3\lambda =0$$$$\frac { \partial \Lambda  }{ \partial \lambda  } =2x+3y-12=0$$

Durch Auflösen dieses Gleichungssystems erhält man:

Aus der ersten Gleichung:

$$\lambda =-{ y }^{ 3 }x$$

Einsetzen in zweite Gleichung:

$${ x }^{ 2 }y-{ y }^{ 3 }x=0$$

Aus der dritten Gleichung:

$$x=6-1,5y$$

Dies eingesetzt in die zweite Gleichung:

$$(36-18y+2,25{ y }^{ 2 })y-{ y }^{ 3 }(6-1,5y)=0$$

Diese Gleichung hat 4 Lösungen für y, nämlich:

$${ y }_{ 1 }=0;{ y }_{ 2 }=4;{ y }_{ 3 }=-\frac { 1 }{ 4 } (\sqrt { 105 } +3);{ y }_{ 4 }=\frac { 1 }{ 4 } (\sqrt { 105 } -3)$$

Mit \(x=6-1,5y\) (siehe oben) ergeben sich damit die entsprechenden x-Werte:

$${ x }_{ 1 }=6;{ x }_{ 2 }=0;{ x }_{ 3 }=\frac { 3 }{ 8 } (19+\sqrt { 105 } );{ x }_{ 4 }=\frac { 3 }{ 8 } (19-\sqrt { 105 } )$$

Die Punkte ( x |y ) , an denen f ( x , y ) = x ² y ³ unter der Bedingung 2 x + 3 y = 12 Extremwerte hat, sowie ihre dortigen Funktionswerte f ( x , y ) sind also:

$$(6|0)\Rightarrow f(6,0)=0$$$$(0|4)\Rightarrow f(0,4)=0$$$$(\frac { 3 }{ 8 } (19+\sqrt { 105 } )|-\frac { 1 }{ 4 } (\sqrt { 105 } +3))\Rightarrow f(x,y)=-4396,1$$$$(\frac { 3 }{ 8 } (19-\sqrt { 105 } )|\frac { 1 }{ 4 } (\sqrt { 105 } -3))\Rightarrow f(x,y)=64,07$$

Das Maximum liegt also bei ( x₄ | y₄ ).

Comments

Ich und "Wolfram" kommen auf ein anderes Ergebnis.

Answer 2

Lösung ohne Lagrange:

\(f(x,y)=x^{2}\cdot y^{3}\) soll maximal werden.

\(2x+3y=12    (x≥0, y≥0)\)→\(y=4-\frac{2}{3}x \)

\(f(x)=x^{2}\cdot(4-\frac{2}{3}x)^{3}\)

\(f'(x)=2x\cdot(4-\frac{2}{3}x)^{3}+x^{2}\cdot 3 \cdot (4-\frac{2}{3}x)^{2}\cdot(-\frac{2}{3})\)

\(f'(x)=2x\cdot(4-\frac{2}{3}x)^{3}-2x^{2}\cdot (4-\frac{2}{3}x)^{2}\)

\(2x\cdot(4-\frac{2}{3}x)^{3}-2x^{2}\cdot (4-\frac{2}{3}x)^{2}=0\)

\(x\cdot(4-\frac{2}{3}x)^{3}-x^{2}\cdot (4-\frac{2}{3}x)^{2}=0\)

\(x\cdot(4-\frac{2}{3}x)^{3}-x^{2}\cdot (4-\frac{2}{3}x)^{2}=0\)    \(x\) ausklammern:

\(x\cdot[(4-\frac{2}{3}x)^{3}-x\cdot (4-\frac{2}{3}x)^{2}]=0\)     Satz vom Nullprodukt:

\(x_1=0\)        \(y(0)=4 \)

\((4-\frac{2}{3}x)^{3}-x\cdot (4-\frac{2}{3}x)^{2}=0\)          \(4-\frac{2}{3}x)^{2}\) ausklammern:

\((4-\frac{2}{3}x)^{2}\cdot[4-\frac{2}{3}x-x]=0\)    Satz vom Nullprodukt:

 \((4-\frac{2}{3}x)^{2}=0\)

\(x_2=6\)      \(y(6)=4-\frac{2}{3}\cdot 6=0\)    \(( y≥0)\)!!

\(4-\frac{2}{3}x-x=0\)

\(4-\frac{5}{3}x=0\)

\(x_3=\frac{12}{5}\)      \(y(\frac{12}{5})=4-\frac{2}{3}\cdot \frac{12}{5}=\frac{12}{5}\)

\(f(0,4)=0\) kommt nicht in Betracht.

\(f(2,4;2,4)=2,4^{2}\cdot 2,4^{3}=2,4^5=79,62624\)