Aufgabe:
Konvergente Reihe ∑an und an > 0 für alle n aus N. Dann fällt an um einen polynominellen Faktor schneller als 1/n.
8, 4, 2, 1, 1/2, 1/4, ...
ist eine konvergente Reihe ∑an und an > 0 für alle n aus N.
an fällt um den Faktor 1/2 auf an+1.
Insbesondere auch a5 um der Faktor 1/2 auf a6.
Wie kann a5 dann um einen polynominellen Faktor schneller als 1/5 fallen?
Hast Du eine formelmäßige Definition für "um einen polynominellen Faktor schneller fallen"?
Mhm ich würde das so definieren: f: N—> R mit f(n) = an und f muss dann in o (n-1-ε ) Für ein epsilon > 0 liegen…
Hallo Roland, ich glaube du hast das mit dem Wachstum falsch verstanden… die Reihe die du angegeben hast ist doch an= (1/2)^n und das wird um einen polynomiellen Faktor schneller fallen als 1/n …
Hallo,
ich halte diese Aussage inzwischen für falsch. Betrachte die Folge \((a_n)\) mit
$$a_n:=\frac{1}{n} \text{ falls }n=2^k \qquad a_n:=\frac{1}{n^2} \text{ sonst}$$
Die Reihe über die \(a_n\) konvergiert, aber die Folge \((a_n)\) fällt nicht schneller als \((1/n)\), weil eben immer mal wieder \(a_n=1/n\) ist.
Gruß Mathhilf
Okay perfekt vielen Dank :)
Ich habe bei meiner Aufgabenstellung eine Voraussetzung vergessen… man sollte eigentlich noch monoton fallend voraussetzen :(
Ein anderes Problem?
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