Bestimmen Sie alle Lösungen der Gleichung z^3 = 1

Question

z³ = 1

Berechnen Sie alle Lösungen der Gleichung?

Wie skizziere ich die Lösung in der komplexen Zahlenebene?

Danke und MfG

Answer 1

Hi,

Weltbekannt ist

-1 = e^{πi}

Leicht abzuleiten ist dann

1 = e^{2πi}

 

Folglich

z^3 = 1

z^3 = e^{2πi}

z₁ = e^{1*2πi/3} = e^{2πi/3}

z₂ = e^{2*2πi/3} = e^{4πi/3}

z₃ = e^{3*2πi/3} = e^{6πi/3} = e^{2πi} = 1

 

Wegen dem Zeichnen. 1 liegt ja auf der reellen Achse. Dann den 120° später kommt z₂ und weitere 120° später kommt z₁ ;).

 

Grüße

Answer 2

Bei solchen Fragen kannst du dir zunächst einfach selber helfen, indem du Wolframalpha fragst.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=z%5E3%3D1

Erst wenn du selber nicht weiterkommst, kannst du gerne nochmals nachfragen.

z^3 = 1

z^3 - 1 = 0

Polynomdivision durch bekannte Nullstelle

(z - 1)·(z^2 + z + 1) = 0

Das Restpolynom kann man jetzt mit pq Formel lösen

z^2 + z + 1 = 0

z = - 1/2 ± √3/2·i