Aloha :)
Vor dem Ableiten bereiten wir den Patienten zunächst vor, damit die innere Ableitung später einfacher zu berechnen ist:$$f(x)=\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}}=\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}=\sqrt{\frac{x+1-2}{x+1}}=\sqrt{\frac{x+1}{x+1}-\frac{2}{x+1}}=\sqrt{1-\frac{2}{x+1}}$$Beim Ableiten mit der Kettenregel arbeiten wir uns von außen nach innen bis zum \(x\) vor. Zuerst brauchen wir die Ableitung der Wurzel. Wegen$$\left(\sqrt x\right)'=\left(x^{\frac12}\right)'=\frac12 x^{-\frac12}=\frac{1}{2\sqrt x}$$lautet der erste Schritt der Kettenregel:$$f'(x)=\underbrace{\frac{1}{2\sqrt{1-\frac{2}{x+1}}}}_{\text{äußere Ableitung}}\cdot\underbrace{\left(1-\frac{2}{x+1}\right)'}_{=\text{innere Ableitung}}$$Die "innere Ableitung" habe ich bewusst noch nicht hingeschrieben, damit du erkennst, dass wir nach dem Ableiten der Wurzel noch den Term ableiten müssen, der unter der Wurzel steht. Dank unserer Umformung von oben brauchen wir jetzt nicht die Quotientenregel, sondern können sofort hinschrieben:$$\left(1-\frac{2}{x+1}\right)'=\left(-2(x+1)^{-1}\right)'=2(x+1)^{-2}=\frac{2}{(x+1)^2}$$
Damit sind wir fertig:$$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{1-\frac{2}{x+1}}}\cdot\frac{2}{(x+1)^2}=\frac{1}{2\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}}}\cdot\frac{2}{(x+1)^2}=\frac{1}{\sqrt{x-1}\,(x+1)^{\frac32}}$$
