Vektorrechnung Ausdrücke vereinfachen und berechnen

Question

Aufgabe:

Vereinfachen Sie folgende Ausdrücke und berechnen Sie diese für a (Pfeil drüber) = Vektor: -1 2 -4, b (Pfeil drüber) = Vektor: 1 -5 3 und c = Vektor: ´-5 7 -1

b) (a Pfeil drüber - (2b Pfeil über b - c Pfeildrüber) ) * ( - 2) + 2 (b Pfeil drüber - c Pfeil drüber )

c) (b Pfeil drüber - 2(b Pfeil drüber - a Pfeil drüber) ) - 2 (3b Pfeil über b - c Pfeil drüber + a Pfeil drüber)

Problem/Ansatz:

Ich glaube, dass ich hier die Gesetze (Kommutativgesetz, Assoziativgesetz, Distributivgesetze) anwenden muss. Ich weiß aber nicht, wann ich welches anzuwenden habe.

Deshalb würde ich mich freuen, wenn mir jemand in Form einer Erklärung diese Aufgaben rechnen könnte, damit ich es gleichzeitig verstehen und nachvollziehen und auf meine nächsten Aufgaben anwenden kann.

Viele Grüße

Answer 1

Aloha :)

$$\vec a=\begin{pmatrix}-1\\2\\-4\end{pmatrix}\quad;\quad\vec b=\begin{pmatrix}1\\-5\\3\end{pmatrix}\quad;\quad\vec c=\begin{pmatrix}-5\\7\\-1\end{pmatrix}$$

$$\vec v_b=(\vec a-(2\vec b-\vec c))\cdot(-2)+2(\vec b-\vec c)=(\vec a-2\vec b+\vec c)\cdot(-2)+2(\vec b-\vec c)$$$$\phantom{\vec v_b}=-2\vec a+4\vec b-2\vec c+2\vec b-2\vec c=-2\vec a+6\vec b-4\vec c$$$$\phantom{\vec v_b}=\begin{pmatrix}2\\-4\\8\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}6\\-30\\18\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}20\\-28\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}28\\-62\\30\end{pmatrix}$$

$$\vec v_c=(\vec b-2(\vec b-\vec a))-2(3\vec b-\vec c+\vec a)=(\vec b-2\vec b+2\vec a)-(6\vec b-2\vec c+2\vec a)$$$$\phantom{\vec v_c}=-\vec b+2\vec a-6\vec b+2\vec c-2\vec a=-7\vec b+2\vec c=\begin{pmatrix}-7\\35\\-21\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-10\\14\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-17\\49\\-23\end{pmatrix}$$

Comments

Vielen Dank für Ihre Hilfe! Jetzt konnte ich die einzelnen Schritte nachvollziehen :)