0 Daumen
288 Aufrufe

Aufgabe:

Hallo :)

Ich soll die Trapezregel zur summierten Regel machen, indem ich $$h=\frac{b-a}{n}$$ und $$t_{i}=a+i h$$

verwende.

Die Trapezregel ohne Unterteilung in Intervalle sieht ja so aus:

$$ I_{1}=\frac{b-a}{2}(f(a)+f(b)) $$


Problem/Ansatz:

Wie gehe ich hier vor? Ich habe nach b-a umgestellt und eingesetzt und für a = ti-1 und b = ti eingesetzt.

Jetzt habe ich gerade das hier stehen:

$$ \begin{aligned} \frac{n \cdot h}{2} &\left(f\left(a+i_{-1} \cdot h\right)\right.\\ &+f(a+i h)) \end{aligned} $$

Avatar von

Hallo,

Du sollst (vermutlich) von Folgendem ausgehen:

$$\int_a^b f(x) dx= \sum_{i=0}^{n-1} \int_{t_i}^{t_{i+1}} f(x) dx$$

und auf jedes der Teilintegrale die Trapezregel anwenden

1 Antwort

0 Daumen
 
Beste Antwort

Aloha :)

Wir unterteilen das Integrationsintervall \([a;b]\) in \(n\) Intervalle:$$a=x_0\le x_1\le x_2\le\cdots\le x_{n-1}\le x_n=b$$und integrieren über jedes dieser Teilintervalle:$$I=\int\limits_a^bf(x)\,dx=\sum\limits_{k=0}^{n-1}\underbrace{\int_{x_k}^{x_{k+1}}\!\!f(x)\,dx}_{\eqqcolon I_k}$$

Jedes Teilintegral nähern wir durch die Fläche eines Trapezes an:$$I_k\approx\underbrace{\frac{f(x_k)+f(x_{k+1})}{2}}_{\text{mittlere Höhe}}\cdot\underbrace{(x_{k+1}-x_k)}_{\text{Breite}}$$

Das bedeutet für das gesamte Integral:$$I=\sum\limits_{k=0}^{n-1}\frac{f(x_k)+f(x_{k+1})}{2}(x_{k+1}-x_k)$$

Wenn alle Intervalle dieselbe Breite haben, gilt:$$x_{k+1}-x_k=\frac{b-a}{n}$$

Das ist eine Konstante, die wir vor die Summe ziehen:$$I=\frac{b-a}{n}\sum\limits_{k=0}^{n-1}\frac{f(x_k)+f(x_{k+1})}{2}$$

Die Summe kann man noch vereinfachen, was klar wird, wenn wir sie ausschreiben:$$I=\frac{b-a}{n}\left(\frac{f(x_0)+f(x_1)}{2}+\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}+\cdots+\frac{f(x_{n-1})+f(x_n)}{2}\right)$$$$I=\frac{b-a}{n}\left(\frac{f(x_0)}{2}+\underbrace{\frac{f(x_1)}{2}+\frac{f(x_1)}{2}}_{f(x_1)}+\underbrace{\frac{f(x_2)}{2}+\frac{f(x_2)}{2}}_{f(x_2)}+\underbrace{\cdots+\frac{f(x_{n-1})}{2}}_{\cdots\,+\,f(x_{n-1})}+\frac{f(x_{n})}{2}\right)$$$$I=\frac{b-a}{n}\left(\frac{f(x_0)}{2}+\sum\limits_{k=1}^{n-1}f(x_k)+\frac{f(x_n)}{2}\right)$$

Mit anderen Worten, du addierst die Funktionswerte aller Stützstellen, aber von der ersten und der letzten nur den halben Wert. Diese Summe multiplizierst du mit der konstanten Intervallbreite.

Avatar von 152 k 🚀

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community