Aloha :)
Wir unterteilen das Integrationsintervall \([a;b]\) in \(n\) Intervalle:$$a=x_0\le x_1\le x_2\le\cdots\le x_{n-1}\le x_n=b$$und integrieren über jedes dieser Teilintervalle:$$I=\int\limits_a^bf(x)\,dx=\sum\limits_{k=0}^{n-1}\underbrace{\int_{x_k}^{x_{k+1}}\!\!f(x)\,dx}_{\eqqcolon I_k}$$
Jedes Teilintegral nähern wir durch die Fläche eines Trapezes an:$$I_k\approx\underbrace{\frac{f(x_k)+f(x_{k+1})}{2}}_{\text{mittlere Höhe}}\cdot\underbrace{(x_{k+1}-x_k)}_{\text{Breite}}$$
Das bedeutet für das gesamte Integral:$$I=\sum\limits_{k=0}^{n-1}\frac{f(x_k)+f(x_{k+1})}{2}(x_{k+1}-x_k)$$
Wenn alle Intervalle dieselbe Breite haben, gilt:$$x_{k+1}-x_k=\frac{b-a}{n}$$
Das ist eine Konstante, die wir vor die Summe ziehen:$$I=\frac{b-a}{n}\sum\limits_{k=0}^{n-1}\frac{f(x_k)+f(x_{k+1})}{2}$$
Die Summe kann man noch vereinfachen, was klar wird, wenn wir sie ausschreiben:$$I=\frac{b-a}{n}\left(\frac{f(x_0)+f(x_1)}{2}+\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}+\cdots+\frac{f(x_{n-1})+f(x_n)}{2}\right)$$$$I=\frac{b-a}{n}\left(\frac{f(x_0)}{2}+\underbrace{\frac{f(x_1)}{2}+\frac{f(x_1)}{2}}_{f(x_1)}+\underbrace{\frac{f(x_2)}{2}+\frac{f(x_2)}{2}}_{f(x_2)}+\underbrace{\cdots+\frac{f(x_{n-1})}{2}}_{\cdots\,+\,f(x_{n-1})}+\frac{f(x_{n})}{2}\right)$$$$I=\frac{b-a}{n}\left(\frac{f(x_0)}{2}+\sum\limits_{k=1}^{n-1}f(x_k)+\frac{f(x_n)}{2}\right)$$
Mit anderen Worten, du addierst die Funktionswerte aller Stützstellen, aber von der ersten und der letzten nur den halben Wert. Diese Summe multiplizierst du mit der konstanten Intervallbreite.
