Aufgabe:
Beispiel für Trapezregel.
Betrachten Sie das Anfangswertproblem
\( y^{\prime}(x)=y(x)^{2}, \quad y(0)=1 . \)
a) Wenden Sie die (implizite) Trapezregel mit einer Schrittweite \( h>0 \) an, um eine (algebraische) Gleichung für die Näherung \( y_{1} \approx y(h) \) zu formulieren.
b) Bestimmen Sie die Menge aller Schrittweiten \( h>0 \) für die (mindestens) eine reellwertige Lösung der Gleichung existiert.
c) Bestimmen Sie für die Schrittweiten aus der Menge in Teil (b) alle Lösungen der Gleichung in Abhängigkeit von \( h \). Begründen Sie, welche der Lösungen bei festem \( h \) sinnvoll für dieses Problem ist. Hinweis: Zur Begründung können Sie den Grenzfall \( h \rightarrow 0 \) betrachten.
Hinweis:
Trapezregel: Wird das Integral mit der Trapezregel approximiert, dann folgt die Vorschrift
\( y_{1}=y_{0}+h \frac{1}{2}\left(f\left(x_{0}, y_{0}\right)+f\left(x_{0}+h, y_{1}\right)\right) \text {. } \)
Hallo zusammen, könnte mir jemand bitte dabei helfen?
Danke im Voraus!