Beispiel für Trapezregel

Question

Aufgabe:

Beispiel für Trapezregel.
Betrachten Sie das Anfangswertproblem
\( y^{\prime}(x)=y(x)^{2}, \quad y(0)=1 . \)

a) Wenden Sie die (implizite) Trapezregel mit einer Schrittweite \( h>0 \) an, um eine (algebraische) Gleichung für die Näherung \( y_{1} \approx y(h) \) zu formulieren.

b) Bestimmen Sie die Menge aller Schrittweiten \( h>0 \) für die (mindestens) eine reellwertige Lösung der Gleichung existiert.

c) Bestimmen Sie für die Schrittweiten aus der Menge in Teil (b) alle Lösungen der Gleichung in Abhängigkeit von \( h \). Begründen Sie, welche der Lösungen bei festem \( h \) sinnvoll für dieses Problem ist. Hinweis: Zur Begründung können Sie den Grenzfall \( h \rightarrow 0 \) betrachten.

Hinweis:

Trapezregel: Wird das Integral mit der Trapezregel approximiert, dann folgt die Vorschrift

\( y_{1}=y_{0}+h \frac{1}{2}\left(f\left(x_{0}, y_{0}\right)+f\left(x_{0}+h, y_{1}\right)\right) \text {. } \)

Hallo zusammen, könnte mir jemand bitte dabei helfen?

Danke im Voraus!

Answer 1

Hallo

y(h)=y1=1+h/2*(1+y^2(h))

kannst du doch wohl sehen wann das nach y(h) auflösbar ist, es ist doch einfach eine quadratische Gleichung?

eigentlich stand ja schon alles da. nur dass du f(x0,y0) statt y(0)^2 usw schreibst.

Gruß lul

Comments

Danke erstmal für deine Antwort!

Ich komme nicht weiter

Könntest du mir bitte dabei helfen? :)

Danke im Voraus.

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hallo

dein f(x,y) hängt doch nicht explizit von x ab, also f(x,y)=y^2

f(y(0))=1^2

ich hatte dir die explizite Formel  um y(hI zu bestimmen doch schon hingeschrieben. Aber Dgl lösen wenn man in der allgemeinen Form y'=f(x,y) die spezielle Form bei y'=y^2 nicht erkennt, weiss ich auch nicht mehr wie helfen.

Gruß lul

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Wie kommst du denn auf y(h)=y1=1+h/2*(1+y2(h)) ?

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indem ich in deine Formel  y^2(h)=f(xo+h,y1) und f(xo,y0)=y^2(0) einsetze, kannst du mal sagen, warum du immerfort f(x,y) schreibst, das in einer allgemeinen Formel steht, und nich das gegebene f(x,y)=y^2?

was du auf deinem Zettel von der 2 ten Zeile ,  die zwar f nicht einsetzt aber noch richtig ist, zur dritten tust verstehe ich nicht. in der zweiten Zeile hast du ne Klammer mit 2 Summanden, das werden in der dritten Zeile  mehr woher kommen die?

lul

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Aber wie kommst du darauf dass y^2(h) gleich f(xo+h,y1) ist?

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Hallo

kannst du mal lieber sagen, was du unter f(x,y) verstehst, und damit unter f(x,y(h)) mit y1=y(h)

sonst reden wir ewig aneinander vorbei.

und warum antwortest du nicht drauf, wenn ich frage wie du auf eine bestimmte Zeile kommst

lul

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Achso ok ich weiß jetzt was du meinst.

In der 3.Zeile habe ich y1 wieder eingesetzt

y1=y0+h/2(f(x0,y0)+f(x0+h,y1)), also habe ich y0+h/2(f(x0,y0)+f(x0+h,y1)) statt y1geschrieben.

Aber ich glaube das war dumme Idee von mir ....

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Könntest du mir bitte bei b) und c) noch helfen?

Ich wäre sehr dankbar..

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Hallo

b) heisst doch nur für welche h die quadratische Gl. für y1 eine (oder 2) reelle Losungen hat,

c) gibt dann y(h) an, das du ja schon in b bestimmt hast. und dann bist du am Überlegen, für welche h die sinnvoll sind.

Gruß lul

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Muss ich also bei b) das y(h)=y1=1+h/2*(1+y(h)^2) nach y(h) lösen oder wie?

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liest du eigentlich posts und denkst einen Moment darüber nach? das habe ich doch mehrfach geschrieben.lul

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Ich habe nach y(h) gelöst und habe das bekommen

\( y(h)=\frac{1+\sqrt{-h^{2}-2 h+1}}{h} \)
\( y(h)=\frac{1-\sqrt{-h^{2}-2 h+1}}{h} \)

denkst du ist das richtig?

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Ne das war falsch jetzt

Ich überlege mir

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wie kann ich dir Schrittweiten bestimmen?

Könntest du mir bitte einen Tipp geben?

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ich gebe bald auf. wieso willst du h "bestimmen" sag erstmal welche h möglich sind

und frag nicht nur sondern erzähl auch mal , was du denkst.Was studierst du denn?

lul

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Es steht in der Aufgabe “Bestimmen sie die Menge aller Schrittweiten h”

Das heißt dass ich alle Lösungen von h bestimmen soll oder?!

Ich studiere Physik

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Meine Idee ist dass ich die quadratische Gleichung mit Delta nach h löse

Falsch?..

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du hast die quadratische Gleichung, für welche h gibt sie sinnvolle Lösungen, für welche nicht. Die h mit den sinnvollen Lösungen sind gefragt.

was ist plötzlich Delta?

schreib ausführlicher, was du denkst, sonst wird das mit dem Studium nix.

lul

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Ich meinte das so :

\( y(h)=1+\frac{h}{2}\left(1+y(h)^{2}\right) \)

\( \Rightarrow y(h)=1+\frac{h}{2}+\frac{h}{z} y(h)^{2} \)

\( \frac{h}{2} y(h)^{2}-y(h)+\left(1+\frac{h}{z}\right)=0 \)

P-Q Formel:

\( y(h)_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a} \)

\( =\frac{1 \pm \sqrt{-h^{2}-2 h+1}}{h} \)

\( -h^{2}-2 h+1=0 \)

\( h^{2}+2 h-1=0 \)

\( \Rightarrow(h+1)^{2}=2 \)

\( h+1=\pm \sqrt{2} \)

\( h=\sqrt{2}-1 \)

\( h=-\sqrt{2}-1 \)

\( \Rightarrow h \in[-\sqrt{2}-1, \sqrt{2}-1] \)

Nicht richtig ?

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Schrittweiten sind eigentlich immer positiv, man rechnet in die Zukunft, nicht in die Vergangenheit.

eigentlich musst du mit Ungleichungen rechnen, also

1-h-h^2>=0

lul

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Ist die Lösung so?

h∈[wurzel(2) −1,∞[

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überprüfe selbst. gehört  z.B h=10 dazu? gehört h=0,1 dazu

du bist wirklich zu unselbständig, wen man ne Lösungsmenge hinschriebt überprüft man doch punktweise ob sie stimmt.ausserdem solltest du direkt finden dass h=1000 wohl nicht sehr sinnvoll ist!

das ist mein letzter post in diesem thread, denn irgendwie halten dich Antworten, bzw, dass du immer zurückfragen kannst offensichtlich vom eigenen Denken ab.

lul

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Danke für nix

sei ein bisschen netter, ich habe dich nicht gezwungen mir zu helfen

entweder solltest du gerne helfen oder gar nicht.

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Ich helfe gern, ich hab dir gesagt ich fürchte, dass dir meine Hilfe schadet, deshalb hör ich auf.

und ich finde, dass ich bisher geduldig geholfen habe, ob nett musst du entscheiden.

lul