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Aufgabe: Berechnen Sie das Flächenträgheitsmoment Ix der Fläche, welche die Kurve y=-x^2+2x mit der x-Achse einschließt.

Wie groß ist das Flächenträgheitsmoment dieser Fläche bezüglich einer Parallel zur x-Achse durch das Maximum der Kurve y=-x^2+2x?


Ansatz:

$$ I_{x}=\frac{1}{3}*\int \limits_{0}^{2}(-x^2+2x)^3*dx=\frac{1}{3}*(x^6-6*x^5+12x^4-8x^3)*dx=\frac{1}{3}*(\frac{1}{7}*2^7-2^6+\frac{12}{5}*2^5-2*2^4.(0))=0,3048 $$


Problem:

Wie errechne ich nun das Flächenträgheitsmoment bezüglich der Parallelen durch das Maximum der Kurve. Das Maximum liegt in (1;1). Mir ist leider nicht klar wie ich den Verschiebungssatz von Steiner verwenden soll um auf das vorgegebene Ergebnis (0,5714) zu erhalten.

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Hallo

 1. wie kommst du auf deine eigenartige Formel?

2. um Steiner zu verwenden brauchst du den Schwerpunkt des Parabelstücks

Gruß lul

Hi,

das ist eine Formel die uns für die Berechnung von Flächenträgheitsmomenten (von Flächen zwischen einer Kurve und der x-Achse) vorgegeben wurde.

Darauf kannst du den Steinerschen Satz aber nicht anwenden, denn dafür musst du das Trägheitsmoment bezüglich des Schwerpunktes der Fläche kennen und der Schwerpunkt ist nicht die \(x\)-Achse, noch liegt er auf der \(x\)-Achse.

1 Antwort

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Beste Antwort

Aloha :)

Gegeben ist die Funktion:$$f(x)=-x^2+2x$$

Zur Bestimmung des Trägheitsmomentes benötigen wir zunächst die Gesamtfläche \(F\), die die Funktion mit der \(x\)-Achse einschließt. Wegen \(f(x)=-x(x-2)\) liegen die Nullstellen bei \(x=0\) und \(x=2\):$$F=\int\limits_0^2f(x)\,dx=\int\limits_0^2\left(-x^2+2x\right)\,dx=\left[-\frac{x^3}{3}+x^2\right]_0^2=-\frac83+4=\frac43$$

Die Rotationsachse verläuft parallel zur \(x\)-Achse durch das Maximum der Funktion:$$f(x)=-(x^2-2x+1)+1=-(x-1)^2+1\implies f_{\text{max}}=1$$

~plot~ -x^2+2x ; 1 ; [[0|2,2|0|1,2]] ~plot~

In das Trägheitsmoment \(I\) gehen die senkrechten Abstände aller Punkte der Fläche von der Rotationsachse \(f_{\text{max}}=1\) quadratisch ein:

$$I=\frac1F\int\limits_{x=0}^2\int\limits_{y=0}^{f(x)}\left(f_{\text{max}}-y\right)^2dx\,dy=\frac{1}{\frac43}\;\int\limits_{x=0}^2\!\int\limits_{y=0}^{-x^2+2x}\left(1-y\right)^2dx\,dy$$$$\phantom{I}=\frac34\int\limits_{x=0}^2\left[\frac{(y-1)^3}{3}\right]_{y=0}^{-x^2+2x}dx=\frac14\int\limits_{x=0}^2\left[(-x^2+2x-1)^3-(-1)^3\right]\,dx$$$$\phantom{I}=\frac14\int\limits_0^2\left(-(x-1)^6+1\right)\,dx=\frac14\left[x-\frac{(x-1)^7}{7}\right]_0^2$$$$\phantom{I}=\frac14\left[\left(2-\frac17\right)-\left(0-\left(-\frac17\right)\right)\right]=\frac14\cdot\frac{12}{7}=\frac37$$

Ich komme nicht auf das vorgegebene Ergebnis \(\frac47\), sondern auf \(\frac37\), sehe aber keinen Bug in meiner Rechnung.

Avatar von 152 k 🚀

Hat sich erledigt

Das Trägheitsmoment um die \(x\)-Achse ist \(\frac{8}{35}\).

Ich versteh nicht wie du sowohl auf die \( \frac{3}{7} \) für das Flächenträgheitsmoment bzgl. der Parallelen und \( \frac{8}{35} \) für das Flächenträgheitsmoment Ix.

In der Kurzlösung zur Aufgabe steht mein oben genanntes Ergebnis: 0,3048. Wie kommst du auf das Ergebnis für Ix

Ich kann nicht mehr tun, als es dir explizit vorzurechnen.

Ich verstehe deinen Ansatz nicht, vielleicht magst du mal schreiben, wie du darauf kommst, dann können wir schauen, warum unsere Ergebnisse abweichen.

Die Formel, die du für \(I_x\) verwendet hast, ist unvollständig. Es fehlt die Division durch die Gesamtfläche. Deswegen habe ich bei meiner Rechnung \(\frac37\) heraus und in der Musterlösung soll \(\frac47\) herauskommen. Beide Ergebnisse unterscheiden sich um den Faktor \(\frac43\), was der Fläche entspricht.

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