e-Funktion mit Parameter und Variable ableiten

Question

Hallo zusammen,

ich würde mich freuen, wenn ich eine ausführliche Erklärung bekomme, wie man eine e-Funktion mit Variable und Parameter ableitet. Die Ableitung brauche ich nämlich für eine Teilaufgabe.

Die abzuleitende Funktion lautet:

\(f_{a}(t)=10t^2*e^{-0,1t-a} \)

Answer 1

Aloha :)

Zur Ableitung von$$f_a(t)=\underbrace{10t^2}_{=u}\cdot\underbrace{e^{-0,1t-a}}_{=v}$$brauchst du die Produktregel und die Kettenregel:$$f'_a(t)=\underbrace{20t}_{=u'}\cdot\underbrace{e^{-0,1t-a}}_{=v}+\underbrace{10t^2}_{=u}\cdot\underbrace{\overbrace{e^{-0,1t-a}}^{\text{äußere Abl.}}\cdot\overbrace{(-0,1)}^{\text{innere Abl.}}}_{=v'}$$$$\phantom{f'_a(t)}=20t\cdot e^{-0,1t-a}-t^2\cdot e^{-0,1t-a}=t\,e^{-0,1t-a}\left(20-t\right)$$

Comments

Super, vielen Dank! :-)

Alles verstanden!

Answer 2

\(f_{a}(t)=10t^2*e^{-0,1t-a} \)

f´(t)=10*2t*\( e^{-0,1t-a} \)+10\( t^{2} \)*\( e^{-0,1t-a} \)*(-0,1)

f´(t)=20t*\( e^{-0,1t-a} \)-\( t^{2} \)*\( e^{-0,1t-a} \)

f´(t)=(20t-\( t^{2} \))*\( e^{-0,1t-a} \)

Comments

Ableitung mit der Quotientenregel:

\( f(t)=10 t^{2} \cdot e^{-0,1 t-a} \)
\( f(t)=10 t^{2} \cdot e^{-(0,1 t+a)} \)
\( u=10 t^{2} \rightarrow \rightarrow u^{\prime}=20 t \)
\( v=e^{0,1 t+a} \rightarrow \rightarrow v^{\prime}=e^{0,1 t+a} \cdot 0,1 \)
\( \frac{d f(t)}{d t}=\frac{20 t \cdot e^{0,1 t+a}-10 t^{2} \cdot e^{0,1 t+a} \cdot 0,1}{\left(e^{0,1 t+a}\right)^{2}} \)
\( \frac{d f(t)}{d t}=\frac{20 t-t^{2}}{e^{0,1 t+a}} \)

Answer 3

e^ (- 0.1*t - a)

[ e ^term ] ´ = e ^term * term ´

term = - 0.1*t - a
term ´  = -0.1

e ^( - 0.1*t - a ) ´ = e^ (- 0.1*t - a ) * -0.1

Dann noch die Produktregel mit 10 * t^2

( u * v ) ´ = u´ * v + u * v´

-t * e^ (- 0.1*t - a) * ( t - 20 )

Answer 4

Hallo,

eine e-Funktion mit einem Term als Exponent leitest du ab, indem du e mit der Ableitung des Exponenten multiplizierst. Der Exponent wird beibehalten.

\(f(x)=e^{u(x)}\qquad f'(x)=u'(x)\cdot e^{u(x)}\)

\(f_a(t)=10t^2\cdot e^{-0,1t-a}\\\)

Produktregel:

\(u=10t^2\qquad v=e^{-0,1t-a}\\ u'=20t\qquad v'=-0,1e^{-0,1t-a}\\ f'_a(t)=20t\cdot e^{-0,1t-a}+10t^2\cdot (-0,1e^{-0,1t-a})\\ =e^{-0,1t-a}\cdot (20t-t^2)\)

Gruß, Silvia