Dreieck ABC durch Vektorenrechnung

Question

Guten Morgen Leute,

würde mich freuen, wenn mir jemand weiterhelfen kann.

Vielen Dank im Voraus.

Gruß

Ümit

Aufgabenstellung:

„Gegeben sind die Punkte A (1/3/5), B(8/4/7) und C(5/7/3).
Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes D, der mit A, B und C das Parallelogramm ABCD
bildet sowie den Schnittpunkt M der beiden Diagonalen.
Berechnen Sie den Winkel «)CBA.
Ermitteln Sie den Flächeninhalt des Dreiecks ABC.“

Meine Frage bezieht sich bloß auf die letzte Aufgabe: und zwar wie ihr auf dem Bild seht, hat unser Lehrer statt mit „F =0,5* (AB x AC)“ hat er das ganze über „F=0,5*(BC x BA)“ und kommt somit auf eine ganz andere Lösung wie ich. Ich erhalte nämlich über „F =0,5* (AB x AC)“ die Lösung „28,18“

Text erkannt:

Feadrinhect $A B C$
$\begin{array}{l} F_{A C C}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{B C} \times \overrightarrow{B A}| \\ =\frac{1}{2}\left|\left(\begin{array}{c} -3 \\ -4 \end{array}\right) \times\left(\begin{array}{c} -7 \\ -4 \end{array}\right)\right| \\ =\frac{1}{2}\left(\left(\begin{array}{c} 3 \cdot(-2)-(-4)(-1) \\ (-7)-(-3)-2) \\ -3(-1)-3 \cdot(-7) \end{array}\right)=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c} -10 \\ -22 \\ 24 \end{array}\right) \mid\right. \\ =\sqrt{210}=17,03 \end{array}$

Answer 1

Je nach Wahl der Diagonalen bei der es drei verschiedene Möglichkeiten gibt, können drei verschiedene Flächeninhalte heraus kommen.

Comments

Also gibt es in dem Fall 3 verschiedene Lösungen? Natürlich nur dann wenn die Aufgabe nicht ganz konkret gestellt wird ? Mit konkret mein ich wie zB. „rechnen Sie das Dreieck durch AC mit AB“

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Es soll das Dreieck durch die gegebenen Punkte ABC berechnet werden.

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Du hast BC zur Diagonalen gemacht, der Lehrer AC. Das ergibt verschiedene Parallelogramme.

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Ein Dreieck hat keine Diagonalen sondern nur Kanten.

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Ein Dreieck hat keine Kanten, sondern Seiten. Hier geht es aber um die Wahl einer Dreiecksseite als Diagonale des entstehenden Parallelogramms.

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Es geht um diesen Aufgabenteil:

Ermitteln Sie den Flächeninhalt des Dreiecks ABC.

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Okay. Ich sehe, dass meine Ausführungen oben gar nicht stimmen können.

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Für die Fläche eines Dreiecks nimmt man immer die Hälfte des Betrags vom Kreuzprodukt zweier Seiten, die das Dreieck aufspannen.

Das hat erstmal nichts mit dem Parallelogramm zu tun. Es wurde auch weder vom Schüler noch vom Lehrer der Punkt D benutzt. Ist ja auch unsinnig in diesem Zusammenhang. Und für die Fläche Des Dreiecks ABC ist auch erstmal egal ob es ein Punkt D gibt oder wo der auch immer liegt.

Answer 2

Hallo,

dann hast du dich wahrscheinlich verrechnet. Ich komme über deinen Weg auf einen Flächeninhalt von 17,03.

Zur Kontrolle:

$\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix} 7\\1\\2 \end{pmatrix}\\ \overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix} 4\\4\\-2 \end{pmatrix}\\ \text{Kreuzprodukt:}\;\begin{pmatrix} -10\\22\\24 \end{pmatrix}\\$

Gruß, Silvia

Comments

Stimmt, hast recht , ich hab mich verschrieben gehabt beim Rechnen .

Dank nochmal

Answer 3

1/2·|BA ⨯ BC| = 1/2·|[-7, -1, -2] ⨯ [-3, 3, -4]| = √290 = 17.03

oder

Du hast dich also vermutlich irgendwo verrechnet.

1/2·|AB ⨯ AC| = 1/2·|[7, 1, 2] ⨯ [4, 4, -2]| = 1/2·|[-10, 22, 24]| = √290 = 17.03