Partielle differenzieren und Wellengleichung

Question

Aufgabe: Partielle differenzieren und Wellengleichung

Text erkannt:

16 Seien \( f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) zweimal stetig differenzierbar und \( c>0 \) vorgegeben. Wir definieren \( u: \mathbb{R}^{2} \rightarrow R \) durch
\( u(x, t):=f(x+c t)+g(x-c t) \quad(x, t \in \mathbb{R}) . \)
Machen Sie qualitative Skizzen der Graphen von \( x \mapsto f(x+c t) \) und \( x \mapsto g(x-c t) \) für verschiedene Werte von \( t \geq 0 \) und zeigen Sie, dass \( u \) eine Lösung für folgendes Anfangswertproblem der eindimensionalen Wellengleichung ist:
\( \partial_{t}^{2} u-c^{2} \partial_{x}^{2} u=0, \quad u(x, 0)=f(x)+g(x), \quad \partial_{t} u(x, 0)=c\left(f^{\prime}(x)-g^{\prime}(x)\right) . \)

Problem/Ansatz: Leider weiß ich gar nicht wie ich beginnen soll. Über Hilfe um einen Ansatz zu finden würde ich mich sehr freuen. Ich bedanke mich bereits im voraus!

lg

Answer 1

Hallo,

um die zweite Aussage zu zeigen bestimmen wir zunächst mithilfe der Kettenregel:

\(\partial_t u(x,t) \stackrel{Kettenregel}{=} f'(x+ct)c-g'(x-ct)c\)

\(\partial_t^2 u(x,t) \stackrel{Kettenregel}{=} f''(x+ct)c^2+g''(x-ct)c^2 = c^2( f''(x+ct)+g''(x-ct))\)

\(\partial_x u(x,t) \stackrel{Kettenregel}{=} f'(x+ct)+g'(x-ct)\)

\(\partial_x^2 u(x,t) \stackrel{Kettenregel}{=} f''(x+ct)+g''(x-ct)\)

Nun rechnen wir nach, dass

\(\partial_t^2 u(x,t)-c^2\partial_x^2 u(x,t)= c^2( f''(x+ct)+g''(x-ct))-c^2(f''(x+ct)+g''(x-ct)) =0 \)

\(\partial_x^2 u(x,0) = f(x)+g(x)\)

\(\partial_t u(x,0) = f'(x)c-g'(x)c=c(f'(x)-g'(x)\)

Für die Skizzen kannst verschiedene Funktionenplotter verwenden.

Comments

Danke Maaarkus!!!!

So einfach kann es sein ^_^