Bestimmen Sie den folgenden Grenzwert mit Hilfe des entsprechenden Taylorpolynoms.

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie den folgenden Grenzwert mit Hilfe des entsprechenden Taylorpolynoms.

$$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos (x)}{x^{2}} $$

Answer 1

\(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos (x)}{x^{2}} \)

Kannst ja von der Potenzreihe für cos ausgehen:

\( cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} +  \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \dots \)

also

\( 1-cos(x) =  1-(1 - \frac{x^2}{2!} +  \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \dots ) \)

\( =   \frac{x^2}{2!} -  \frac{x^4}{4!} +  \frac{x^6}{6!} - \dots \)

==> (für x≠0)  \(  \frac{1-cos(x)}{x^2}   =  \frac{1}{2!} - \frac{x^2}{4!} +  \frac{x^4}{6!} - \dots \)

Für x gegen 0 bleibt also \(    \frac{1}{2!} = 0,5   \) als Grenzwert übrig.

Answer 2

Die Taylorpolynome \(T_n(\cos,0)\)  ab n=4  haben die Gestalt

\(T_n(\cos)(x)=1-x^2/2+x^4(...)\). Damit ergibt sich$$\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(x)}{x^2}=\lim \frac{1-(1-x^2/2+x^4(...))}{x^2}=\\\lim \frac {x^2/2-x^4(...)}{x^2}=1/2-\lim x^2(...)=1/2$$