Wie bilde ich davon die Umkehrfunktion bzw wie stelle ich auf x um?

Question

Aufgabe:

Werte- und Definitionsberech der Umkegrfunktion f(x) = (x²+1)*e^x-1

Wie bilde ich davon die Umkehrfunktion bzw. wie stelle ich auf x um? Ich hab ja das x in der Klammer un im Exponenten?

Comments

f(x) = (x^2+1) * e^x - 1
mein Matheprogramm schafft es leider
nicht die Umkehrfunktion zu bilden.
y = (x^2+1) * e^x - 1
Umkehrfunktion
x = (y^2+1) * e^y - 1
y = ...

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f:= (x^2 + 1) * e^x - 1
Def = -∞ .. ∞
Werte = 0..∞

Umkehrfunktion
Def = 0..∞
Werte = -∞ .. ∞

Dann hätten wir ja schon einmal
die Hälfte der Antwort.

asy : y = -1
Umkehr x = -1

Answer 1

Man kann y= (x²+1)*e^x-1 nicht explizit nach x auflösen.

Comments

Die Aufgabe lautet "Geben Sie eine Gleichung für die Asymptote von K (K ist f(x)) sowie den Definitions- und Wertebereich der Umkehrfunktion von f an. f(x) siehe oben. Also die Asymptote y= -1 ist klar, aber irgendwas muss man doch mit der Umkehrfunktion machen, ist eine Abiaufgabe.

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Der Definitionsbereich der Umkehrfunktion von f ist der Wertebereich von f.

Der Wertebereich der Umkehrfunktion von f ist der Definitionsbereich von f.

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Also müsste man hier dann gar nicht exakt die Umkehrfunktion bilden und die Angabe reicht dann?

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Grundsätzlich vertauschen Definitionsbereich und Wertebereich bei Umkehrfunktionen gegenüber der Ausgangsfunktion die Rollen.

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Man muss noch zeigen, dass f injektiv ist.

Answer 2

Zur Injektivität von f:

\(f'(x)=2xe^x+(x^2+1)e^x=(x^2+2x+1)e^x=\)

\( = (x+1)^2e^x\geq 0\;\forall x\in D_f=\mathbb{R}\).

Nun kannst du zeigen, dass f injektiv ist.