Finde eine Gleichung für die Tangente t an die Kurve

Question

Aufgabe:

f(x) = \( \frac{1}{x(1-lnx)} \)

Finde eine Gleichung für die Tangente t an die Kurve, die vom Ursprung ausgeht, und bestimme die Koordinate ihres Berührungspunktes T mit f

Problem/Ansatz:

So wie ich das verstehe, entspringt die Tangente dem Punkt O(0;0). Mithilfe der Tangentengleichung y = f'(a)(x-a) + f(a) soll ich jetzt die Tangente bestimmen?

Comments

Ursprungsgeraden haben die Form:

y= m*x

m ist die Steigung.

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Gesucht wird wohl so etwas:

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Ja, so etwas wird gesucht.
Wenn ich aber die Steigung m berechnen möchte durch die Ableitung der Funktion, dann komme ich auf etwas undefiniertes.

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Roland hat Dir weiter unten erklärt, wie es geht.

Beim Berührpunkt ist die Steigung von f gleich der Steigung von t. Diese Aussage hat er als Gleichung aufgeschrieben, und sogar auch noch gelöst.

Answer 1

Sei (u|v) Der Berührpunkt, dann muss gelten f '(u)=\( \frac{f(u)}{u} \) mit der Lösung u=\( e^{\frac{1}{2}} \). Dann ist v=\( \frac{2}{\sqrt{e}} \).

Comments

Vielen Dank, Roland!

Beim Berechnen des BP komme ich für u auf 0, e und \( \sqrt{e} \), wobei 0 und e wegen der e.B. verworfen werden.

Also liegt der Berührungspunkt bei (\( \sqrt{e} \);\( \frac{2}{\sqrt{e}} \)) und die Gleichung der Tangente lautet y = \( \frac{2}{e} \)x

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Hier noch das Desmos zur Aufgabe.

https://www.desmos.com/calculator/cafzuoaddq

Verschiebe den Punkt \(a=\dots\) auf \(f\) (dem roten Graphen) und die Lösung ist dort, wo die grüne Tangente durch den Ursprung verläuft.