Zeigen Sie, dass \mathbf{F} ein konservatives Zentralkraftfeld ist und berechnen Sie das zugehörige Potential.

Question

Ein Teilchen bewege sich im Kraftfeld \( \mathbf{F}=a|\mathbf{r}|^{2} \mathbf{r}(a \in \mathbb{R}) \) entlang des Weges

\( c: t \mapsto \mathbf{r}_{c}(t)=\left(\begin{array}{c} R \omega t /(10 \pi) \\ R \exp (-\sin (t)) \\ R\left[\cos (\omega t)+\sin ^{3}(\omega t)\right] \end{array}\right), \quad t \in\left[0,10 \pi \omega^{-1}\right], \quad R, \omega, v>0 . \)
Zeigen Sie, dass \( \mathbf{F} \) ein konservatives Zentralkraftfeld ist und berechnen Sie das zugehörige Potential. Berechnen Sie weiterhin die Arbeit \( W=-\int \limits_{c} \mathbf{F}(\mathbf{r}) \cdot \mathrm{d} \mathbf{r} \), die das Teilchen auf seinem Weg verrichtet. Kürzen Sie das Endergebnis so weit wie möglich.

Moin, kann mir jemand bei dem ersten Teil der Aufgabe helfen? Wie kann ich zeigen, dass F ein konservatives Zentralkraftfeld ist? Also ich weiß, dass man den Vektor mit dem Gradienten ins Kreuzprodukt nehmen muss, und dabei muss als Ergebnis 0 sein. Allerdings, verwirrt mich F ein wenig, bzw. Ich weiß nicht so ganz, wie ich anfangen soll. (Muss ich mit dem Kraftfeld F arbeiten, oder mit dem Vektor r_c(t)?)

Comments

Hallo,

die von Dir genannte Bedingung für die Existenz eine Potentials müsste natürlich mit dem Kraftfeld überprüft werden.

Da allerdings ohnehin das Potential zu berechnen ist, braucht die Bedingung nicht geprüft werden. Im Erfolgsfall hat man eben das Potential.

Gruß Mathhilf

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Weißt du vielleicht, wie genau ich am besten vorgehe, um zu zeigen, dass F ein konservatives Kraftfeld ist? Muss ich ich zunächst F ausrechnen? (Was wäre, dann r?) Danke für deine Hilfe!

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Muss ich ich zunächst F ausrechnen?

Was willst Du da ausrechnen. F ist - mathematisch gesprochen - eine Abbildung von \(\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3\), \(\bold{r}\) ist eine Bezeichung für \((x,y,z)^T\).

Ich weiß nicht, welche Methoden Ihr besprochen habt, um eine Potential zu berechnen, vielleicht schaust Du mal in Deinen Unterlagen nach.

Aus meiner Sicht wäre es am einfachsten das Kurvenintegral von Nullpunkt zu einem beliebigen Punkt \(\bold{r}\) längs der Strecke zu berechnen ...

Answer 1

Aloha :)

Wir überlegen uns zuerst, wie der Gradient einer Funktion \(f(r)\) lautet, die nur vom Betrag \(r\) des Vektors \(\vec r\) abhängt. Die \(i\)-te Komponente dieses Gradienten finden wir mit der Kettenregel:$$\operatorname{grad}_if(r)=\frac{\partial f}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial x_i}=\frac{\partial f}{\partial r}\frac{\partial }{\partial x_i}\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}=\frac{\partial f}{\partial r}\frac{2x_i }{2\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}}=\frac{\partial f}{\partial r}\frac{x_i }{r}$$Da \(f(r)\) nur von \(r\) abhängt, können wir beim Zusammenbau des Gradienten auch \(f'(r)\) anstatt \(\frac{\partial f}{\partial r}\) schreiben:$$\operatorname{grad}f(r)=f'(r)\begin{pmatrix}x_1/r\\x_2/r\\x_3/r\end{pmatrix}=f'(r)\,\frac{1}{r}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=f'(r)\,\frac{1}{r}\,\vec r$$$$\underline{\underline{\operatorname{grad}f(r)=f'(r)\cdot\vec r^0}}$$

Diese Formel ist in der Praxis oberwichtig, weil extrem nützlich. Mit ihr kannst du sofort das Potential \(\phi(r)\) zu dem Kraftfeld \(\vec F(\vec r)\) angeben:$$\vec F=ar^2\,\vec r=ar^3\,\vec r^0\quad\implies\quad\phi(r)=\int ar^3\,dr=\frac a4\,r^4+\text{const}$$