1) Injektivität: Seien \(A,B\in P(X)\) mit \(A\neq B\),
dann gibt es \(x\in A\backslash B\) oder \(x\in B\backslash A\).
Im ersten Falle ist \(1_A(x)=1\neq 0=1_B(x)\),
im zweiten Fall \(1_A(x)=0\neq 1=1_B(x)\), also insgesamt \(1_A\neq 1_B\).
2) Surjektivität: Sei \(f:\; X\rightarrow \{0,1\}\) eine Abbildung.
Man definiere \(A(f):=\{x\in X:\; f(x)=1\} \in P(X)\).
Dann ist offenbar \(1_{A(f)}=f\).