Äquivalenz von 2 Aussagen

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Sei \( \mathbb{K} \) ein Körper, und sei \( A \in \mathrm{M}_{m n}(\mathbb{K}) \). Beweisen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind:
(a) Es gibt eine Matrix \( B \in \mathrm{M}_{n n}(\mathbb{K}), B \neq 0 \), sodass alle Einträge von \( A B \) null sind.
(b) \( \operatorname{Rg}(A)<n \).

Da die Aussagen äquivalent sind muss ich sie ja quasi von beiden Seiten beweisen. Habe aber absolut keine Idee wie ich es anstellen kann.

Answer 1

Es gelte (a). Da \(B\) nicht die Nullmatrix ist, besitzt

\(B\) eine Spalte \(b_j\) , die nicht der Nullvektor ist.

Dann haben wir aber \(Ab_j=0\), d.h. das lineare Gleichungsystem

\(Ax=0\) hat eine nichttriviale Lösung \(b_j\neq 0\). Der Lösungsraum \(L\)

hat also mindestens die Dimension 1. Folglich ist der Rang

von \(A=n-\dim(L)<n\).

Nun kannst du sicher imit ähnlichen Gedanken die andere Richtung

zeigen.

Comments

Danke vielmals.

Das ist die erste Erklärung die für mich auch Sinn macht.