Gleichung der Tangente an den Kreis

Question

Aufgabe:

man sollte eine Gleichung der Tangente an den Kreis k im Punkt T des Kreises ermitteln!

K: x^2+ y^2-4x+8y=149

T(7/t2) mit t2 größer als 0

Problem/Ansatz:

Ich hab mein t2 schonn berechnet und das ist 8

Also T(7/8) ich weiss nicht wie ich jz die gleichung berechnen kann

Answer 1

Forme die Kreisgleichung mittels quadratischer Ergänzung um in die Mittelpunktsform $$ (x-2)^2 + (y+4)^2 = 169 $$ D.h. der Kreis hat den Mittelpunkt \( ( 2 | -4) \).

Der Punkt durch den die Tangente gehen soll ist \( ( 7 | 8 ) \)

Die Tangente steht senkrecht auf der Geraden, die den Mittelpunkt mit dem Punkt \( ( 7 | 8 ) \) verbindet. Berechne die Steigung \( m_g \) der Geraden vom Mittelpunkt zu dem Punkt wo die Tangente den Kreis berühren soll. Die Steigung der Tangente ist dass \( m_t = -\frac{1}{m_g} \)

Dann lautet die Tangentengleichun

\( t(x) = m_t (x-7)+8 \)

Answer 2

\(f(x,y)= x^2+ y^2-4x+8y-149\)

implizites Differenzieren:

\( \frac{dy}{dx}=-\frac{f_x(x,y)}{f_y(x,y)} \)

\(f_x(x,y)=2x-4\)

\(f_y(x,y)=2y+8\)

\( \frac{dy}{dx}=-\frac{2x-4}{2y+8} =\frac{4-2x}{2y+8}\)

\(T(7|8)\)

\( \frac{dy}{dx}=\frac{4-2*7}{2*8+8}=-\frac{10}{24}=-\frac{5}{12}\)

Tangentengleichung:

\( \frac{y-8}{x-7} =-\frac{5}{12}\)

\(y =-\frac{5}{12}x+\frac{131}{12}\)