Zeigen Sie, dass (a_{n})_{n ∈ ℕ} eine Nullfolge ist.

Question

Text erkannt:

Seien \( a, b \in \mathbb{R} \) mit \( a<b \) und \( f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} \) stetig differenzierbar. Für \( n \in \mathbb{N} \) definieren wir
\( a_{n}:=\int \limits_{a}^{b} f(x) \sin (n x) \mathrm{d} x . \)
Zeigen Sie, dass \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) eine Nullfolge ist.

Wie kann ich das zeigen?

Answer 1

Mit der Substitution \( u=x n \) ergibt sich
\(\begin{aligned} a_{n}=\int \limits_{a}^{b} f(x) \sin (n x) d x=\frac{1}{n} \int \limits_{a}^{b} f(x / n) \sin (x) d x .\end{aligned} \)
Da f stetig auf dem kompakten Interval \( [a, b] \) ist, ist \( f \) insbesondere beschränkt. Weiterhin ist bekanntlicherwise \( -1 \leqslant \sin (x) \leqslant 1 \) für alle \( x \in \mathbb{R} \) und somit folgt das Konstanten \(N\) und \(M\) existieren, sodass

\(\begin{aligned} \forall x \in[a, b]: N \leqslant f(x) \sin (x) \leqslant M .\end{aligned}\)

also schliessen wir

\(\begin{aligned} \frac{1}{n}(b-a) N \leqslant \frac{1}{n} \int \limits_{a}^{b} f(x / n) \sin (x) d x \leqslant \frac{1}{n}(b-a) M \\ \stackrel{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow} 0 \leqslant \frac{1}{n} \int \limits_{a}^{b} f(x / n) \sin (x) d x \leqslant 0 . \end{aligned} \)
Also folgt mit dem Sandwich Kriterium, dass \( a_{n} \) eine Nullfolge ist.