Normalvektorform Ebene normal auf Gerade g und durch Punkt P

Question

Hallo, ich habe zur folgenden Aufgabe die Lösung, verstehe den Prozess dahinter aber nicht wirklich.

Aufgabe:

Geben Sie die Ebene E in Normalvektorform an, die normal auf $$g:\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5\\0\\-3 \end{pmatrix}+t*\begin{pmatrix} -2\\1\\3 \end{pmatrix}$$ und durch den Punkt P=(2/7/2) geht.

Problem/Ansatz:

Nun die Lösung ist: $$E=-2x+y+3z=9$$ Was ich nicht verstehe ist, warum der Richtungsvektor von g als Normalvektor für E genutzt werden kann. Wäre sehr dankbar wenn mir das jemand schildern könnte.

Answer 1

Normal zu einer geraden bedeutet Senkrecht zur Geraden und das bedeutet du nimmst den Richtungsvektor als Normalenvektor. Durch einen Punkt bedeutet du nimmst den Punkt als Stützvektor. Also:

E: X * [-2, 1, 3] = [2, 7, 2] * [-2, 1, 3]
E: -2x + y + 3z = -4 + 7 + 6 = 9

Ist das so verständlich?

Comments

Nicht ganz. Ich würde nämlich versuchen aus dem Richtungsvektor der Geraden g einen Normalvektor (also einen Vektor um 90° gedreht) zu machen, da die Ebene ja quasi aus der Geraden g "herausfährt". Wenn man den Richtungsvektor von g als Normalvektor nimmt stell ich mir das so vor, dass die Ebene auf g "liegt", somit kommt mir das ganze gerade ein wenig unlogisch vor.

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Ach jetzt hab ich es verstanden. Sinnerfassend lesen ist heute wohl nicht mehr so leicht möglich.

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Nicht so wild. Ich muss ab und zu auch etwas mehrfach lesen. Der Trick hier ist ja das der Normalenvektor einer Ebene eben auch senkrecht zu der Ebene liegt.