Für welches a liegt Lösbarkeit des LGS vor?

Question

Aufgabe:

Für welches a liegt Lösbarkeit des LGS vor?

Problem/Ansatz:

Ansatz ist a durch Lösung von LGS zu bekommen.

1.

I 2x-5y=9 |-2*I

II 4x+am=5

2.

I -4x+10y=-18 | I+II

II 4x+ay=5

3.

I 10y+ay=-13

II 4x+ay=5

4.

I (10+a)y=-13

II 4x+ay=5

5.

I y=-13/(10+a)

II 4x+ay=5

6.

I y=-13/(10+a)

II 4x+ay=5 |-ay

7.

I y=-13/(10+a)
II 4x=5-ay |:4

8.

I y=-13/(10+a)
II x=5/4-(ay)/4

Was mache ich falsch? Wie muss ich weiter machen?

Answer 1

Aloha :)

$$\begin{array}{rr|r|l}x & y & = & \text{Aktion}\\\hline2 & -5 & 9 &\\4 & a & 5 &-2\cdot\text{Gleichung 1}\\\hline2 & -5 & 9 &\\0 & a+10 & -13 &\end{array}$$Jetzt ekrennst du schon das Problem. Die zweite Gleichung lautet:$$0\cdot x+(a+10)\cdot y=-13\quad\implies\quad(a+10)\cdot y=-13\quad\implies\quad y=\frac{-13}{a+10}$$

Wenn nun \((a=-10)\) ist, ist \(y\) wegen des Verbots der Division durch Null nicht definiert.

Für alle \(a\ne-10\) lässt sich \(y\) jedoch eindeutig berechnen.

Wenn du \(y\) berechnet hast, kannst du \(x\) aus der ersten Gleichung ermitteln:$$2x-5y=9\quad\implies\quad x=\frac{5y+9}{2}$$sodass das Glechungssystem für alle \(a\ne-10\) eindeutlg lösbar ist.

Comments

Vielen Dank!

Answer 2

Für a=-10 ist das Gleichungssystem nicht lösbar.

Der Nenner bei 5. wäre dann Null.

Außerdem siehst du es schon im zweiten Schritt.

I) 2x-5y=9    |•2

II) 4x+ay=5

----

2•I)  4x - 10y = 9

II)     4x +  ay = 5

Wenn a=-10 ist, steht links jeweils der gleiche Term, während rechts unterschiedliche Ergebnisse stehen.

Falls du Determinanten kennst:

D=0 für a=-10. Dx und Dy sind aber ungleich Null.

:-)

Comments

Erst einmal viele Dank! ;)

Gibt es auch eine Möglichkeit, das so fortzuführen wie ich es gemacht habe? Also ich habe für y ja einen (zugegeben etwas komischen) Bruch raus, aber das wäre ja soweit okay.

Wie würde das dann für x aussehen, da müsste ich ja dann y einsetzen.

Answer 3

Zuerst bringe ich die Gleichungen in die Normalform:

2x - 5y = 9      ⇔      y = 2/5 x - 9/5
4x + ay = 5     ⇔      y = -4/a x + 5/a

Das System ist dann nicht lösbar, wenn die Geraden sich nicht schneiden weil sie parallel sind d.h. dieselben Steigungen haben, also

2/5 = -4/a
⇔   a = - 10

Für alle anderen a gibt es einen Schnittpunkt der beiden Geraden d.h. das Gleichungssystem ist lösbar.