Beschränktheit und Konvergenz bestimmen gegebenenfalls auch den Grenzwert

Question

Aufgabe:

Untersuchen sie die rekursive definierte Folge (x_n) ⊂  ℝ auf Beschränktheit und Konvergenz und bestimmen sie gegebenenfalls den Grenzwert, wobei

x₀:= 0

x_n+1:= \( \frac{1}{2}\)(1-x_n²)

Problem/Ansatz:

Die Beschränktheit hab ich schon untersucht, aber bei der Konvergenz, habe ich noch Probleme, wie mach ich denn das?

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Eine rekursive Folge: Konvergenz

Stichworte: konvergenz

Aufgabe:

Untersuchen Sie die rekursiv definierte Folge \( \left(x_{n}\right) \subset \mathbb{R} \) auf Beschränktheit und Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert, wobei

\( x_{0}:=0 \quad x_{n+1}:=\frac{1}{2}\left(1-x_{n}^{2}\right) \)

Problem/Ansatz:

Ich brauche eure Hilfe für diese Aufgabe. Ich kann es leider nicht lösen. :"(

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Diese Frage wurde heute schon einmal gestellt: https://www.mathelounge.de/938291/beschranktheit-konvergenz-bestimmen-gegebenenfalls-grenzwert.

Answer 1

$$\text { Grenzwert: } \\ x_{n+1} = \frac{1}{2} (1 - x_{n}^2),\quad x_{n} >= 0 \\ 2*x_{n+1} = 1 - x_{n}^2 \\ x_{n}^2 + 2*x_{n+1} - 1 = 0 \\ \text { sei }\lim\limits_{n\to\infty} x_{n} = L\text { dann gilt } \\ L^2 + 2*L -1 = 0 \\ \text { Lösung L1 } = -1 - \sqrt{2} \\ \text { Lösung L2 } = -1 + \sqrt{2} \\ \text { wegen L1 < 0 ist L2 der Grenzwert der Folge. }$$

Comments

Das darf man nur machen, wenn die Existenz des lim gezeigt ist.

lul

Answer 2

Hallo

bevor man den GW ausrechnet muss man zeigen, dass die folge konvergiert!

den GW ausregnen ist dann immer einfach. indem man x_n=x_n+1=g setzt für n->oo

Die Beschränktheit ist gleich mit xn>=0 und xn<=1/2 zu zeigen

um die Konvergenz zu zeigen muss man zeigen, dass |x_n+1-x_n|<|x_n-x_n-1|

mit xn+1-xn=1/2(x^2_n-1-x^2_n) benutzt_.

Gruß lul