Es ist genau umgekehrt, bei einem Extremum ist die 1. Ableitung = 0 und bei einem Wendepunkt die 2. Ableitung = 0. Ich verstehe nicht ganz, was "die Bedingung einer waagrechten Tangente" sein soll, aber ich vermute, dass du damit meinst, dass in diesem Punkt die 1. Ableitung gleich 0 ist, somit eine waagrechte Tangente ist und folglich eben ein Extremum.
Was du unter "anderen" Bedingungen verstehst, ist mir nicht klar, aber wenn du zum Beispiel einen Punkt gegeben hast, hast du schon eine Bedingung, für die du nicht einmal eine Ableitung benötigst.
Was du prinzipiell noch wissen solltest ist, welchen Grad n die Funktion hat, du musst dann n+1 Bedingungen aufstellen. Schau auch immer, ob du eine Aussage über Symmetrie hast oder nicht. Meist musst du bei diesem Aufgaben kombinieren, gerne wird zum Beispiel ein Wendepunkt angegeben - dann weißt du, dass in diesem Punkt die f''(x) = 0 und f(x) = Wendepunkt ist.
