Stetigkeit mehrdimensionaler Funktion

Question

Aufgabe:

Ich möchte eine mehrdimensionale Funktion auf Stetigkeit untersuchen und benötige dazu den Grenzwert Lim(x,y) → (0,0) der Funktion

f(x,y) = (xy) ^{1/(x^2+y^2)} +2

Problem/Ansatz:

Offensichtlicherweise kann ich nicht einfach (x,y)=(0,0) in die Funktion einsetzen da ich so im Exponent durch 0 teilen würde. Normalerweise würde ich in so einer Situation l'hospital anwenden, da wir diese Regel aber für mehrdimensionale Funktionen nicht definiert haben weiß ich nun nicht mehr weiter. Kann mir jemand weiterhelfen?
Danke im Voraus!

Comments

Die Funktionsdefinition ist etwas fragwürdig, weil ja erforderlich wäre, dass xy>0 ist?

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Genau, die Funktionsvorschrift gilt für xy>0 und ich möchte schauen welchem Funktionswert sich die Funktion annähert, wenn lim (x,y) → (0,0)

Answer 1

Hallo,

es ist ja

$$f(x,y)=2+\exp(\frac{1}{x^2+y^2} \ln(xy))$$

Wenn man hier Folgen \(x_n \to 0, y_n \to 0\) einesetzt, gilt \(\ln(x_ny_n) \to -\infty\). Dann geht das Argument von exp erst recht gegen \(-\infty\). Und die Funktionswerte daher gegen 2+0=2.

Gruß Mathhilf

Comments

Danke, aber gilt das gilt nicht immer, oder?

Für bspw. x=y gilt doch

lim (x-->0) (exp( \( \frac{1log(2+x^2)}{2x^2} \) =  exp(\( \frac{1}{2} \)lim (x-->0) ( \( \frac{log(2+x^2)}{2x^2} \) ))

mit hospital folgt dann für den Gw im Argument lim (x-->0) (\(\frac{1log(2+x^2)}{2x^2} \))

= lim (x-->0)  (\( \frac{ 2x/(2+x^2)}{2x} \)) = \( \frac{1}{2} \)

Was dann insgesamt ergibt:

lim (x-->0) (exp(\( \frac{1log(2+x^2)}{2x^2} \))  = exp(\( \frac{1}{2} \)) \( \sqrt{e} \) ≠ 2

oder habe ich einen Denkfehler?

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Es ist:

$$f(x,x)=2+\exp\left(\frac{\ln(x^2)}{2x^2}\right)$$

Ich sehe nicht, was Du untersucht hast.