Sei G eine Gruppe. Zeigen Sie: • Z(G) ist eine Untergruppe von G. • Z(G) ist abelsch.

Question

Aufgabe:

Für eine beliebige Gruppe G ist Z(G), das Zentrum von G, definiert als {g ∈ G| g.h = h.g für alle h ∈ G}.

Sei G eine Gruppe. Zeigen Sie:

• Z(G) ist eine Untergruppe von G.

• Z(G) ist abelsch.

Problem/Ansatz:

Ich habe diese Aufgabe mehrmal versucht aber ich kann es leider nicht hinbekommen. Können Sie mir bitte helfen?

Comments

Was hast du denn hinbekommen?

Vielleicht die Abgeschlossenheit ? Die dürfte ja wohl

mit das Simpelste sein ... Wie steht es mit dem neutralen Element?

Liegt das im Zentrum oder nicht?

Answer 1

Die einzige nicht ganz so selbstverständliche Eigenschaft ist:

$z\in Z(G)\Rightarrow z^{-1}\in Z(G)$.

Sei also $z\in Z(G)$. Dann gilt für alle $g\in G$:

$zg=gz\Rightarrow zgz^{-1}=(zg)z^{-1}=(gz)z^{-1}=g(zz^{-1})=g$, also

$z^{-1}g=z^{-1}(zgz^{-1})=(z^{-1}z)gz^{-1}=gz^{-1}$.

Comments

Könnte man das sie abelsch ist, nicht einfach mit der Definition des Zentrums begründen. Denn da ist ja mult. als Verknüpfung definiert, und die zusätzliche voraussetzung für abelsche gruppen ist ja g ◦ h = h ◦ g

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Ja, da die Zentrumselemente sogar mit allen Gruppenelementen
vertauschbar sind, sind sie natürlich speziell mit allen
Zentrumselementen vertauschbar.

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also würde es einfach reichen zu sagen das die definition des Zentrums mit der Vorausetzung der abelschen gruppe übereinstimmt?

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Ja, das kannst du so machen, aber ich würde es so formulieren,
wie ich es gerade getan habe.