Aufgabe:
Eine Firma bringt ein neues Produkt auf den Markt; es geht um die Verkaufszahlen für dieses Produkt.
Gegeben ist eine Funktion g(x), die "die momentane Änderungsrate des Absatzes in Stück pro Monat" beschreibt. Damit es nicht zu einfach ist, heißt die Änderungsrate in der Aufgabe g und nicht etwa g'.
Gesucht ist die Anzahl der im ersten Jahr nach der Markteinführung insgesamt von dem Produkt verkauften Stück.
Problem/Ansatz:
Die Musterlösung behauptet, $$ \int \limits_{0}^{12} g(x) dx $$ wäre die gesuchte Anzahl.
Meines Erachtens wäre die Stammfunktion $$ G(x) = \int g(x) dx + C $$ (mit einem geeignet gewählten C) aber erst die Funktion, die den monatlichen Absatz beschreibt, und man muss $$ \int \limits_{0}^{12} G(x) dx $$ berechnen, um die im ersten Jahr verkaufte Stückzahl zu erhalten.
Wo ist mein Denkfehler? Oder ist die Musterlösung falsch?
Als Beispiel: Wenn im ersten Monat ein Stück verkauft wird, im zweiten zwei, im dritten drei usw., könnte man eine "Absatzfunktion" a(x) = x aufstellen. Innerhalb von 12 Monaten würden a(1) + a(2) + ... + a(12) = 1+2+ ... +12 = 78 Stück verkauft.
Die momentane Änderungsrate a'(x) = 1 gibt dann an, wie viele Stück jeden Monat MEHR verkauft werden (nämlich von Monat zu Monat immer eins mehr).
Wenn ich nun aber wissen will, wie viele in einem Jahr verkauft wurden, muss ich a integrieren (oder aufsummieren), nicht die Änderungsrate a'. Das Integral über a' ergäbe 12 (Stück), was ganz offensichtlich NICHT die Gesamtzahl der in einem Jahr verkauften Stück ist.
