Aufgabe:
Sei \(f: \mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}^{2}\)durch \(f(x,y) :=\begin{pmatrix} \frac{1}{8}(x+y)^2\\\frac{1}{4} \sin(x) +\frac{1}{2} \end{pmatrix},(x,y) \in \mathbb{R}^{2}\) definiert. Zeigen Sie, dass f in \(\left[0, 1\right] \times \left[0, 1\right]\) genau einen Fixpunkt besitzt.
Problem/Ansatz:
In unserer VL steht das A eine abgeschlossene Teilmenge eines Banachraumes sein muss. Hier ist A \(\left[0, 1\right] \times \left[0, 1\right]\) eine Teilmenge von \(\mathbb{R}^{2}\). Darüber hinaus soll die Abbildung \(Φ: A \rightarrow A\) eine Kontraktion sein. Diese Aussage zu zeigen fällt mir etwas schwer und würde daher gerne wissen ob ich das wie folgt machen kann oder ob es ggf. einen besseren/eleganteren Weg gibt? Ich bin wie folgt vorgegangen:
\(\exists θ \in ]0,1[ \forall a,b \in A \Vert f (a)-f (b)\Vert \leq θ\Vert (a)-(b)\Vert\).
Nach dem Mittelwertsatz existiert ein \(ξ \in ]a,b[\), sodass \(\Vert f (a)-f (b)\Vert \leq |f'(ξ)|\Vert (a)-(b)\Vert\) mit\(f'(ξ) = \frac{|f(b)-f(a)|}{|b-a|}\leq θ\).
Dann habe ich f(x,y) abgeleitet und bin auf folgendes gekommen: \(Df(x,y) = \begin{pmatrix} \frac{x}{4} & \frac{y}{4} \\ \frac{\cos(x)}{4} & 0 \end{pmatrix}\).
Kann ich nun wie folgt abschätzen? \(|\frac{x}{4}| +|\frac{y}{4}| = \frac{x}{4}+\frac{y}{4} \leq \frac{1}{4}+\frac{1}{4} = \frac{1}{2}\) und \(|\frac{\cos(x)}{4}| = \frac{\cos(x)}{4} \leq \frac{1}{4}\).
Dann würde ich \(θ = \frac{1}{2} \) wählen. Wäre dann gezeigt das f einen Fixpunkt besitzt oder habe ich etwas falsch gemacht? Danke für die Hilfe.
