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Aufgabe:

Hallo, ich habe eine 6x6 Matrix von der ich die eigenwerte bestimmen soll:

0,0,0,1,0,1

0,0,0,0,1,1

0,0,0,1,1,0

1,0,1,0,0,0

0,1,1,0,0,0

1,1,0,0,0,0


Ich habe den Hinweis dazu, dass man die Matrix auch aufteilen kann in 2x2 Matrizen.

Bisher habe ich also, die gesamte Matrix A minus Lambda(ich nehme hier mal x) mal der Einheitsmatrix:

-x,0,0,1,0,1

0,-x,0,0,1,1

0,0,-x,1,1,0

1,0,1,-x,0,0

0,1,1,0,-x,0

1,1,0,0,0,-x

Jetzt wende ich den Hinweis an und erhalte beispielsweise aus dem ersten Block von A11,A12,A21,A22:

det(-x,0 | 0,-x) =x2 x^{2}

Das habe ich für alle Blöcke gemacht und komme auf die Matrix:

x2 x^{2} , 0, -1

0,x2 x^{2} -1, 0

-1, 0, x2 x^{2}

Ich glaube aber dass ich hier schon falsch bin weil mit Wolframalpha komme ich auf

x66x4+9x24=0 x^{6}- 6x^{4} + 9x^{2}-4 = 0

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Ich würde die Matrix nicht in 2×2-Matrizen, sondern in 3×3-Blockmatrizen einteilen, etwa so:
Die gegebene Matrix ist von der Form A=(0MM0)A=\small\begin{pmatrix}0&M\\M&0\end{pmatrix}, wobei MM eine 3×3-Matrix ist und hat das gleiche charakteristische Polynom wie die zu AA ähnliche 6×6-MatrixB=(I0II)(0MM0)(I0II)1=(I0II)(0MM0)(I0II)=(MM0M),B=\begin{pmatrix}I&0\\I&I\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0&M\\M&0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}I&0\\I&I\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}I&0\\I&I\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0&M\\M&0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}I&0\\-I&I\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-M&M\\0&M\end{pmatrix},wobei I=I3I=I_3 die dreireihige Einheitsmatrix ist. Damit giltdet(AλI6)=det(BλI6)=det(MλI3)det(MλI3).\det(A-\lambda I_6)=\det(B-\lambda I_6)=\det(-M-\lambda I_3)\cdot\det(M-\lambda I_3).

1 Antwort

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deine blockeinteilung ist zumindest ungeschickt

ist das die Adjazenzmatrix von hier

https://www.mathelounge.de/942544/berechnen-adjazenzmatrix-eigenwert…

Avatar von 21 k

Ja genau die Aufgabe. Was wäre denn der bessere Weg? Der Link bei der Antwort hilft mir nicht wirklich.

Da ist doch ein Hinweis mit

A : =(x000x000x)B : =(101011110)\scriptsize A \, := \, \left(\begin{array}{rrr}-x&0&0\\0&-x&0\\0&0&-x\\\end{array}\right) \\ B \, := \, \left(\begin{array}{rrr}1&0&1\\0&1&1\\1&1&0\\\end{array}\right)

und

det(M)=det(A2B2)=det(x22111x22111x22)\small det(M)= det(A^2-B^2)= det\left(\begin{array}{rrr}x^{2} - 2&-1&-1\\-1&x^{2} - 2&-1\\-1&-1&x^{2} - 2\\\end{array}\right)

{{x² - 2, -1, -1}+(x²-2){-1, -1, x² - 2}+{-1, x² - 2, -1}-{-1, -1, x² - 2},
{-1, x² - 2, -1}-{-1, -1, x² - 2},
{-1, -1, x² - 2}}

===>

00x45  x2+40x21x2+111x22\small \left|\begin{array}{rrr}0&0&x^{4} - 5 \; x^{2} + 4\\0&x^{2} - 1&-x^{2} + 1\\-1&-1&x^{2} - 2\\\end{array}\right|

===>

(x²-1)(x4 - 5x² + 4 ) = (x²-1)(x - 2) (x - 1) (x + 1) (x + 2)

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