Eigenwerte einer 6x6 Matrix mit Blockform-Hinweis

Question

Aufgabe:

Hallo, ich habe eine 6x6 Matrix von der ich die eigenwerte bestimmen soll:

0,0,0,1,0,1

0,0,0,0,1,1

0,0,0,1,1,0

1,0,1,0,0,0

0,1,1,0,0,0

1,1,0,0,0,0

Ich habe den Hinweis dazu, dass man die Matrix auch aufteilen kann in 2x2 Matrizen.

Bisher habe ich also, die gesamte Matrix A minus Lambda(ich nehme hier mal x) mal der Einheitsmatrix:

-x,0,0,1,0,1

0,-x,0,0,1,1

0,0,-x,1,1,0

1,0,1,-x,0,0

0,1,1,0,-x,0

1,1,0,0,0,-x

Jetzt wende ich den Hinweis an und erhalte beispielsweise aus dem ersten Block von A11,A12,A21,A22:

det(-x,0 | 0,-x) =\( x^{2} \)

Das habe ich für alle Blöcke gemacht und komme auf die Matrix:

\( x^{2} \) , 0, -1

0,\( x^{2} \)-1, 0

-1, 0, \( x^{2} \)

Ich glaube aber dass ich hier schon falsch bin weil mit Wolframalpha komme ich auf

\( x^{6}- 6x^{4} + 9x^{2}-4 = 0 \)

Comments

Ich würde die Matrix nicht in 2×2-Matrizen, sondern in 3×3-Blockmatrizen einteilen, etwa so:
Die gegebene Matrix ist von der Form \(A=\small\begin{pmatrix}0&M\\M&0\end{pmatrix}\), wobei \(M\) eine 3×3-Matrix ist und hat das gleiche charakteristische Polynom wie die zu \(A\) ähnliche 6×6-Matrix$$B=\begin{pmatrix}I&0\\I&I\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0&M\\M&0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}I&0\\I&I\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}I&0\\I&I\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0&M\\M&0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}I&0\\-I&I\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-M&M\\0&M\end{pmatrix},$$wobei \(I=I_3\) die dreireihige Einheitsmatrix ist. Damit gilt$$\det(A-\lambda I_6)=\det(B-\lambda I_6)=\det(-M-\lambda I_3)\cdot\det(M-\lambda I_3).$$

Answer 1

deine blockeinteilung ist zumindest ungeschickt

ist das die Adjazenzmatrix von hier

https://www.mathelounge.de/942544/berechnen-adjazenzmatrix-eigenwerte-adjazenzmatrix-graphen#a942558

Comments

Ja genau die Aufgabe. Was wäre denn der bessere Weg? Der Link bei der Antwort hilft mir nicht wirklich.

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Da ist doch ein Hinweis mit

\(\scriptsize A \, :=  \, \left(\begin{array}{rrr}-x&0&0\\0&-x&0\\0&0&-x\\\end{array}\right) \\ B \, :=  \, \left(\begin{array}{rrr}1&0&1\\0&1&1\\1&1&0\\\end{array}\right)\)

und

\(\small det(M)= det(A^2-B^2)= det\left(\begin{array}{rrr}x^{2} - 2&-1&-1\\-1&x^{2} - 2&-1\\-1&-1&x^{2} - 2\\\end{array}\right)\)

{{x² - 2, -1, -1}+(x²-2){-1, -1, x² - 2}+{-1, x² - 2, -1}-{-1, -1, x² - 2},
{-1, x² - 2, -1}-{-1, -1, x² - 2},
{-1, -1, x² - 2}}

===>

\(\small \left|\begin{array}{rrr}0&0&x^{4} - 5 \; x^{2} + 4\\0&x^{2} - 1&-x^{2} + 1\\-1&-1&x^{2} - 2\\\end{array}\right|\)

===>

(x²-1)(x^4 - 5x² + 4 ) = (x²-1)(x - 2) (x - 1) (x + 1) (x + 2)