Anwendungen der Differentialrechnung Test

Question

Hi :)

ich schreibe morgen ein Test und habe dazu 2 Übungsaufgaben bekommen. (wichtig... die Lösung interesiert mich gar nicht so groß... mehr der Rechenweg, vor allem der am Anfang)

So ich zeig die beiden mal und am Ende zeige ich, was ich meine. :)

1. Eine ganzrationale Funktion dritten Grades hat in P(1 | 6) eine Tangente, diie parallel zur x-Achse verläuft, und in Q (0|4) einen Wendepunkt.

Bestimmen Sie die Funktionsgleichung

2. Der Graph einer ganzrationalen Funktion vierten Grades ist achsensymmetrisch zur y-Achse und hat im Wendepunkt W ( 1 | -1/2 ) die Steigung - 4

Bestimmen Sie die Funktionsgleichung.

Allllsssoooo... das am Ende ist eigentlich relativ selbsterklärend... wenn die Funktionen stehen, dann verstehe ich auch das Prinzip, des subtrahieren voneinander. ^^ Aber mir gehts vor allem um die ersten 2 Schritte... Eigenschaften raus schreiben und diese in die Gleichung einsetzen.

Nehmen wir mal die erste Aufgabe: ich lese 3 Grades... verständlich... fange also an bei

f(x) = ax³ + bx² + cx +d
so... da steht auch im Punkt P ( 1 | 6 ) ... also auch hier f(1) = 6

auch das ist relativ einfach bis hierhin... ich wüsste auch, wie ich jetzt P in die Gleichung einsetze... alles kein Problem bis hierhin... nur dann fängt das Problem an... Was sagt mir jetzt das mit der Tangente, die parallel zur x-Achse verläuft?

Und Wendepunkt Q ( 0 | 4). Da es ein Wendepunkt ist, ist es doch sowieso die 2 Ableitung und f''(0) = 0 oder? dann hätte ich ja selbstständig 3 Sachen gefunden... von 4, richtig? Und was sagt mir das mit der Tangente jetzt?

So jetzt zu 2.

4 Grades... ich weiß also ab ax^4 + bx³ + cx² + dx + e ... da es aber Achsensymm. ist, war es doch nur die gerade Expos, oder?

So... wieder Wendepunkt... das heißt doch eigentlich wieder, dass ich die 2 Ableitung habe und f'' (0) = 0 habe, richtig?
Und Steigung -4... Steigung bedeutet doch immer 1. Ableitung... also f ' (0) = 0 oder wie?
Ich hoffe, dass mir jemand helfen kann und sich die Zeit nehmen kann für meine lange Fragerei hier ^^
:)

Answer 1

Bei der ersten Funktion hast du einiges schon richtig genannt:

Ansatz ist: f(x) = ax³ + bx² + cx + d

P∈f: f(1) =a + b + c + d = 6

Q∈f: f(0) = d = 4

f '' (0) = 2b = 0

Aus der Tatsache, dass bei P eine zur x-Achse parallele Tangente vorhanden ist, ergibt sich, dass der Anstieg an dieser Stelle Null sein muss, also muss an dieser Stelle gelten: f ' (x) = 0

f ' (1) = 3a + 2b + c = 0

Jetzt hast du 4 Gleichungen mit 4 Unbekannten. Schaffst du es ab hier allein?

 

Bei der zweiten Funktion läuft die Sache ähnlich ab. Du hast richtig gesagt, dass man die ungerade Exponenten weglassen kann, wenn f symmetrisch zur y-Achse ist.

Ansatz ist also: f(x) = ax⁴ + bx²  + c

W∈f: f(1) =a + b + c = -1/2

f '' (1) = 12a + 2b = 0

Die Steigung gleich -4 bedeutet: f '(x) = -4 an dieser Stelle.

f ' (1) = 4a + 2b = -4

Jetzt hast du 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten. Schaffst du es ab hier allein?

Comments

Cool danke erstmal bis hierhin :) Also du hast gut die 4 Gleichungen gemacht... der Rest ist ja nur abziehen... das dürfte ja kein Problem sein... war es bis jetzt auch noch nie. Mein Problem war nur, dass erkennen von den Eigenschaften und das umschreiben in eine Funktion...  Ich probiere mich mal reinzufinden, anhand deiner Gleichungen. Danke erstmal :)

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Falls du das noch liest... eine Frage hätte ich noch... Ich verstehe nicht ganz, wie du auf die Funktion der Tangente gekommen bist. Also auf die f ' (1) = 0 ... was wäre denn, wenn da stehen würde,  dass die Tangente nicht parallel zur x-Achse ist? Wie würde ich denn dann wissen, wie da der Anstieg ist? Steht das dann immer in der Aufgabe, oder muss ich das selbstständig irgendwie erkennen?