zweimal differenzierbare Funktion: Taylor-Entwicklung beweisen

Question

Aufgabe:

Sei I ein offenes Intervall und f: I -> R eine zweimal differenzierbare Funktion.

Wir definieren den zentralen Differenzenquotienten zweiter Ordnung durch
\( f_{h}^{(2)}(x):=\frac{f(x+h)-2 f(x)+f(x-h)}{h^{2}} \)

a) Zeigen Sie, dass für jedes \( x \in \mathcal{I} \) gilt:
\( f^{\prime \prime}(x)=f_{h}^{(2)}(x)+o(1) \)
Hinweis: Untersuchen Sie die Taylorentwicklung in den Punkten \( (x+h),(x-h) \).

b) Folgern Sie aus (a), dass \( f^{\prime \prime}(x)=\lim \limits_{h \rightarrow 0} f_{h}^{(2)}(x) \).

Sei \( f \) im Folgenden zusätzlich konvex.

c) Zeigen Sie, dass \( f_{h}^{(2)}(x) \geq 0 \) für alle \( x \in \mathcal{I} \) gilt.

d) Folgern Sie, dass \( f^{\prime \prime}(x) \geq 0 \) für alle \( x \in \mathcal{I} \) gilt. Hinweis: Nutzen Sie die Darstellung der Konvexität des letzten Übungsblattes.

Problem/Ansatz:

Comments

Nutzen Sie die Darstellung der Konvexität des letzten Übungsblattes.

Die Darstellung der Konvexität des letzten Übungsblattes fehlt.

Answer 1

Die Taylorentwicklung von \( f(x+h) \) lautet

$$ f(x+h) = f(x) + f'(x) h + \frac{1}{2}f''(x) h^2 + O(h^3) $$ entsprechend

$$ f(x-h) = f(x) - f'(x) h + \frac{1}{2}f''(x) h^2 + O(h^3) $$

Also

$$ f_h^{(2)}(x) = f''(x) + O(h) $$ und deshalb

$$ \lim_{h \to 0} f_h^{(2)}(x) = f''(x) $$

Für den Rest musst Du erstmal hinschreiben, wie Ihr konvex definiert habt.