Spiegelung Punkt/Ebene

Question

Gegeben sind der Punkt $$P(5|5|−2)$$ und die Ebene$$ \varepsilon: \vec{X}=\left(\begin{array}{r} 3 \\ 1 \\ 20 \end{array}\right)+k \cdot\left(\begin{array}{r} -1 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right)+\ell \cdot\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right) $$Geben Sie eine Gleichung der Ebene e in Normalform an!

Spiegeln Sie den Punkt P an der Ebene e.

Spiegeln Sie die Ebene e am Punkt P.
Berechnen Sie den Normalabstand des Punktes P von der Ebene e !

Kann jemand mir damit helfen?

Answer 1

Normalenform

Das Kreuzprodukt n = (-1,1,2) x ( 1,0,2 ) ist der Normalenvektor der Ebene E: n = (2,4,-1). Das führt zur Normalenform

E: \( \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -1\end{pmatrix}   * ( \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}  - \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 20 \end{pmatrix} )  = 0 \)

Spiegelung

Es gibt verschiedene Wege das zu berechnen, am anschaulichsten geht das anhand der Koordinatenform der Ebene E. Die Normalenform ausmultiplizieren:

E: 2x + 4y - z = -10

Lotgerade der Ebene E durch den Punkt P : (5,2,-2) + s*(2,4,-1)

Schnittpunkt der Lotgerade mit der Ebene (Lotgerade in die Ebene einsetzen) :

2(5+2s) + 4(2+4s) - (-2-s) = -10

Lösung s= -10/7

s in die Lotgerade einsetzen, ergibt den Lotfußpunkt : L=(15/7, -26/7, -4/7)

Vektor LP = (P-L) = (5 - 15/7, 2 + 26/7, -2 + 4/7)

Der Spiegelpunkt ergibt sich dann aus L - LP (die Richtung von LP wird invertiert)

P' = L - PL = ( 15/7 + 15/7 -5, -26/7 - 26/7 -2, -4/7 -4/7 +2) ~ (0.71, -9.43, 0.86)

Abstand

Der Fusspunkt der Lotgerade durch P=(5,2,-2) wurde bereits mit L bestimmt. Der Abstand beträgt

d = \( \sqrt{(5-15/7)^2 + (2+26/7)^2 + (-2+4/7)^2} \) ~ 6.55