Berechnen Sie den Flächeninhalt der ausgesägten Figur.

Question

Aufgabe:

Auszug aus der Mathe Abschlussprüfung 2013 Nachtermin Bayern.

Aufgabe A 1
Die nebenstehende Skizze zeigt die Figur, die zum Einbau einer Küchenspüle aus einer Arbeitsplatte ausgesägt werden muss. Die Figur wird begrenzt durch die Kreisbögen BC und DA sowie die parallelen Strecken [AB] und [DC]. Die Kreise \( k_{1}\left(M_{1} ; r=\overline{M_{1} \mathrm{~A}}\right) \) und \( \mathrm{k}_{2}\left(\mathrm{M}_{2} ; \mathrm{r}=\overline{\mathrm{M}_{2} \mathrm{~B}}\right) \) berühren sich im Punkt \( E \in\left[M_{1} M_{2}\right] \)
Es gilt: \( \overline{\mathrm{M}_{1} \mathrm{~A}}=\overline{\mathrm{M}_{2} \mathrm{~B}}=25 \mathrm{~cm} ; \overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{CD}}=20 \mathrm{~cm} \).
Berechnen Sie den Flächeninhalt der ausgesägten Figur.
[Teilergebnis: \( \angle \mathrm{AM}_{1} \mathrm{~F}=53,13^{\circ} \) ]
Quelle: https://www.isb.bayern.de/download/14103/mathematik ii nachtermin angaben.pdif

Problem/Ansatz:

Einerseits hätte die Aufgabe so verstanden, dass die ausgesägte Figur das von mir rot Markierte darstellt. Dabei wurde hier verlangt, dass die gesamte Skizze die Figur ist und dementsprechend die gesamte Skizze berechnet wird. Das verwirrt mich allerdings etwas, da es doch heißt, dass die Figur durch die beiden Kreisbögen und die beiden Strecken begrenzt wird. Andererseits lässt der erste Satz lässt vermuten, dass es sich bei der Figur um die gesamte Skizze handelt, allerdings verstehe ich den Teil mit der Begrenzung nicht.

Wo liegt der (Denk-)Fehler?

Comments

So wie ich die Musterlösung verstehe, werden dort zwei Kreissektoren und zwei Trapeze ausgerechnet.

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Genau, so habe ich diese auch verstanden.

Dann habe ich doch allerdings die ganze Skizze als Figur.

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Ich verstehe die Aufgabe an sich schon, jedoch verwirrt mich der Satz mit der Begrenzung. Wenn die Figur doch begrenzt ist durch die angegebenen Teile, dann dürfte es sich doch nur um das von mir rot Markierte handeln.

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Ahso... Die "Kreisbögen BC und DA" sind usanzgemäß im Gegenuhrzeigersinn gemeint.

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Ja, aber warum sind diese die Begrenzung. Wären diese die Begrenzung, verstehe ich das so, dass man nur die von mir rot markierte Fläche ausrechnen müsste.

Answer 1

Hallo

gesucht ist die Summe der 2 großen Kreisabschnitte+ Rechteck

die Ganze Skizze ist die Platte, aus der das Stück ausgesägt wird. rot markiertes sehe ich nicht aber alles was von nicht gestrichelten Linien begrenzt wir wird ausgesägt. (aus dem großen Rechteck)

lul

Comments

In der Lösung der Prüfung wird allerdings die gesamte Skizze als Figur angesehen (vlg. https://www.isb.bayern.de/download/14104/end_nt_2013_loesung.pdf)

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Hier das Bild mit dem rot Markierten und somit mit meiner Idee zur Berechnung.

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Das verstehe ich unter Begrenzung...

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Hallo

da soll eine Spüle reinpassen, in das rote Ding sicher nicht.

lul

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Ja, das ist mir bewusst, mir ging es ja nur um den Satz mit den Begrenzungen, welchen ich erst falsch verstanden hatte. Ich habe die Kreisbögen nämlich in den Uhrzeigersinn „abgelesen“ und nicht gegen den Uhrzeigersinn.

Answer 2

Ausrechnen würde ich den Flächeninhalt nicht mit Kreissektoren und Trapezen, sondern als

\(A = 2\cdot\underbrace{\vphantom{\int \limits_{15}^{25}\left(\underbrace{\vphantom{\int \limits_{a}^{b}}\sqrt{25^{2}-15^{2}}}_{\overline{DF}}-\sqrt{25^{2}-x^{2}}\right) d x }\pi \cdot 25^{2}}_{\text{Kreis}}+4\cdot \underbrace{\int \limits_{15}^{25}\Big(\underbrace{\vphantom{\int \limits_{a}^{b}}\sqrt{25^{2}-15^{2}}}_{\overline{DF}}-\sqrt{25^{2}-x^{2}}\,\Big) \; dx }_{\text{rosa Fläche}}\)

Comments

Vielen Dank. Mir geht es allerdings nicht unbedingt um die Berechnung, sondern um die gemeinte Fläche. Ich verstehe den Satz mit der Begrenzung nicht. Wenn ich die Fläche ausrechne, die durch die Kreisbögen und die beiden Strecken begrenzt ist, würde ich die von mir rot markierte Fläche berechnen.

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Wie ich oben geschrieben habe:

Die "Kreisbögen BC und DA" sind usanzgemäß im Gegenuhrzeigersinn gemeint.

Du hast Deine roten Kreisbögen im Uhrzeigersinn (von B nach C sowie von D nach A) eingezeichnet.

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Was hat das mit dem Gegenuhrzeigersinn zu tun, wenn ich fragen darf?

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Wenn Du im Gegenuhrzeigersinn von B nach C gehst, hast Du den richtigen Kreisbogen.

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Ach so, ah, ok, soweit habe ich gar nicht gedacht.

Jetzt ist die Aufgabe für mich auch zu 100 % verständlich, vielen Dank!!!

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Schlussendlich habe ich allerdings eine Frage zur Integralberechnung. Ich kann dem soweit folgen, allerdings verstehe ich nicht, warum x^2?

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Das ist die Kreisgleichung. Von DF wird die Höhe des Kreisbogens abgezogen.