Aloha :)
zu a) Eine Abbildung ist stetig am Punkt \(x_0\), wenn gilt:$$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f\left(\lim\limits_{x\to x_0}x\right)$$Im eindimensionalen Fall heißt das, dass die Funktion an der Stelle \(x_0\) definiert sein muss, und dass sowohl der linksseitige Grenzwert als auch der rechtsseitige Grenzwert für \((x\to x_0)\) gegen \(f(x_0)\) konvergieren müssen.
Für \((x<1)\) und für \((x>1)\) wird die Funktion \(f(x)\) jeweils durch ein Polynom beschrieben. Da Polynome über ihrem gesamten Definitionsbereich stetig sind, müssen wir nur die Stetigkeit von \(f\) an der Übergangsstelle \((x_0=1)\) undersuchen. Die Funktion ist für \(x=1\) definiert, \((f(1)=3)\), und der rechtsseitige Grenzwet stimmt per Definition der Funktionsgleichung mit \(f(1)\) überein. Wir müssen also nur noch den linksseitigen Grenzwet prüfen:$$\lim\limits_{x\nearrow1}f(x)=\lim\limits_{x\nearrow1}(ax+b-3)=a+b-3\stackrel!=3\implies a+b=6$$
Damit \(f(x)\) über ganz \(\mathbb R\) stetig ist, muss \((a+b=6)\) gelten.
zu b) Da Polynome immer auf ganz \(\mathbb R\) differenzierbar sind, ist hier wieder die Übergangsstelle \(x_0=1\) auf Differnzierbarkeit zu prüfen. Da Stetigkeit eine notwendige Voraussetzung für Differenzierbarkeit ist, können wir den linksseitigen Teil der Funktion ersetzen:$$f(x)=ax+b-3=ax+\underbrace{(6-a)}_{=b}-3=a(x-1)+3$$und nun die linksseitige und rechtsseitige Ableitung bilden:$$f'_\nearrow(x)=a\quad;\quad f'_\searrow(x)=6x\implies f'_\searrow(1)=6$$Da beide Grenzwerte gleich sein müssen, folgt \((a=6)\) und \((b=6-a=0)\).
Die Funktion \(f(x)\) ist also auf ganz \(\mathbb R\) differenzierbar für \((a=6)\) und \((b=0)\).
zu c) Die Stetigkeit einer Funktion an einer Stelle \(x_0\) ist eine notwendige Voraussetzung für die Differenzierbarkeit der Funktion an dieser Stelle. Nach Teil (a) ist die Fuktion \(f(x)\) nur stetig für \((a+b=6)\). Für \(a=6\) und \(b=6\) ist diese Bedingung verletzt, sodass bei \((x=1)\) keine Stetigkeit und somit auch keine Differenzierbarkeit vorliegt.
