L Hopital Grenzwerte bestimmen

Question

Aufgabe:

Hallo, ich habe gerade ein paar Aufgaben zu L Hoptial bearbeitet und bei ein paar Aufgaben komme ich immer auf die falsche Lösung:

b) \( \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{\ln (x)}{x} \) Hier hatte ich 1 heraus weil 1/x/x immer wieder 1 ergibt aber nach den Lösungen sollte es hier 0 sein.
c) \( \lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{x^{3}-2 x^{2}+1}{x^{3}-2 x+1} \) Hier hatte ich 2/6 heraus aber die Lösung müsste -1 sein.
d) \( \lim \limits_{x \rightarrow 0+} x \ln (x) \)
Tipp zu d): Verwenden Sie \( x \ln (x)=\frac{\ln (x)}{1 / x} \). Bei der Ableitung 1/x geteilt durch -1/x^2 müsste es doch eigentlich gegen +unendlich gehen. Zum Beispiel für 0,1/0,01 oder?

Vielen Dank für eure Hilfe

Answer 1

b)

\( \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{\ln (x)}{x} = \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{\ln' (x)}{x'} = \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{x}}{1} = \frac{1}{x} = 0 \)

c)

\( \lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{x^{3}-2 x^{2}+1}{x^{3}-2 x+1} = \lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{3x^{2}-4x}{3x^{2}-2} = \frac{-1}{1} = -1 \)

d)

\( \lim \limits_{x \rightarrow 0+} x \ln (x) = \lim \limits_{x \rightarrow 0+} \ln( x^x ) = \ln(1) = 0 \)

Comments

Vielen Dank für deine Antwort. Warum leitest du bei der b.) Nenner und Zähler nicht weiter ab? War das nicht die Regel dass man das so lange macht bis Nenner und Zähler nicht 0 oder unendlich sind?

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Die Regel von l’Hospital kann nur dann mehrfach angewendet werden, wenn innerhalb einer Rechnung der Grenzwert wieder gegen \( \frac{0}{0} \) oder \( \frac{+-\infty}{+-\infty} \)  konvergiert. Bei diesen Aufgaben ist das nicht der Fall.

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@mathe 53:

0^0 ist doch nicht definiert?

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0^0 ist strittig definiert, aber es hat sich 0^0 = 1 "durchgesetzt". Bei der Aufgabe geht es aber um \( \lim\limits_{x\to0} x^x \), und dann gilt

\( \lim\limits_{y\to0}  x^y = 1 \)

\( \lim\limits_{x\to0} x^y = 0 \)

\( \lim\limits_{x\to0} x^x = 1 \)

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Danke für deine Erklärung, auch wenn ich das Spiel mit x und y nicht so recht verstehe.

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Verstehe ich auch nicht.

mMn ist es einfach so definiert. 0^0 = 1, fertig.

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0^0 ist nicht definiert.

lim (x → 0) x^x = 1

Das kann man sich selber auch herleiten. Aber ich würde es evtl. auch anders lösen

$$\lim\limits_{x\to 0^+} x \cdot \ln(x) = \lim\limits_{x\to 0^+} \frac{\ln(x)}{\frac{1}{x}} = \lim\limits_{x\to 0^+} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{-1}{x^2}} = \lim\limits_{x\to 0^+} \frac{-x^2}{x} = \lim\limits_{x\to 0^+} -x = 0^-$$

Answer 2

b) (1/x)/1 =1/x

c) (3x^2-4x)/(3x^2-2)

1 einsetzen -> lim = -1

d) (1/x)/(-1/x^2) =1/x * (-x^2) = -x

0 einsetzen -> x= 0

Comments

Vielen Dank für deine Antwort.

Ich hatte da noch ein paar Fragen.

Warum setzt du bei der b.) das untere x auf 1 und zum Beispiel nicht das obere?

Und warum setzt du bei der c.) die 1 bei der ersten Ableitung ein? Du könntest es ja auch nochmal ableiten oder?

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Warum setzt du bei der b.) das untere x auf 1

Die Ableitung von x ergibt 1.

Warum nochmal ableiten? Die Bedingung für L'Hospital ist nicht mehr erfüllt.