Zeige, dass dann \lim\limits_{x\to\infty} \frac{1}{t} \int\limits_{0}^{t} f(x)g(t −x) dx = ρ ·η.

Question

Aufgabe:

Seien f,g : ℝ_≥0 → ℝ eingeschränkt auf [0,t], t > 0, Riemann-integrierbare
Funktionen mit \( \lim\limits_{x\to+\infty} \) f(x) = ρ und \( \lim\limits_{x\to+\infty} \) g(x) = η

Zeige, dass dann  \( \lim\limits_{x\to\infty} \)\( \frac{1}{t} \) \( \int\limits_{0}^{t} \) f(x)g(t −x) dx = ρ ·η.

Benutzen Sie, f(x)g(t −x) = (f(x)−ρ)g(t −x) +ρg(t −x).

Comments

Soll es nicht t gegen unendlich sein?

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Oh ja sie haben recht. Ich habe mich wohl vertippt.

Answer 1

Hallo,

ich gehe davon aus, dass R-integrierbar auch einschließt, dass f und g auf Intervallen [0,t] beschränkt sind. Mit der Grenzwert-Bedingung sind sie dann insgesamt beschränkt, sagen wir durch M.

Sei \(\epsilon>0\) gegeben.

Dann existiert \(a>0\), so dass:

$$\forall x \geq a: \quad |f(x)-r| < \epsilon \quad |g(x)-e)| < \epsilon$$

Mit dem Hinweis:

$$\frac{1}{t} \int_0^t f(x)g(t-x) dx - re$$

$$=\frac{1}{t} \int_0^t (f(x)-r)g(t-x) dx + \frac{1}{t} \int_0^t r(g(t-x)-e) dx  $$

Wir zerlegen jedes Integral in 2 Teile und schätzen ab / lassen konvergieren:

$$ \left| \frac{1}{t} \int_0^a (f(x)-r)g(t-x) dx \right| \leq \frac{1}{t} \int_0^a (M+r)M dx \leq \frac{1}{t}a(M+r)M \to 0$$

$$ \left|\frac{1}{t} \int_a^t (f(x)-r)g(t-x) dx \right| \leq \frac{1}{t}(t-a) \epsilon M \leq M \epsilon$$

$$ \left| \frac{1}{t} \int_0^t r(g(t-x)-e) dx \right| \leq \frac{1}{t} \int_0^a r(M+e) dx \leq \frac{1}{t}ar(M+e)\to 0$$

$$ \left|\frac{1}{t} \int_a^t r(g(t-x)-e) dx \right| \leq \frac{1}{t} \int_a^t r \epsilon dx \leq r \epsilon$$ 

Gruß Mathhilf