zu c)
Dir sollte klar sein, dass die Nullstellen nicht auf dem Rand sondern im Einheitskreis liegen. Also \( |w_i| < 1\)
Gleichzeitig haben die \( \beta_{w_i} \) keine Singularitäten in \( \overline{\mathbb D} \). Und die einfachen Nullstellen \( w_i \).
Wenn man dann
$$ \frac{f(z)}{\prod_{j=1}^n \beta_{w_j}(z)} $$
betrachtet stellt man fest, dass die entstanden Singularitäten gerade hebbar sind (oben NST Ordnung 1 und unten auch)
Also schnappt man sich eine holomorphe Fortsetzung dieses Bruchs \( \tilde f \).
Es gilt dann \( \tilde f \) ist stetig auf \( \overline{\mathbb D} \), holomorph auf \( \mathbb D \), erfüllt auch \( \tilde f[\partial \mathbb D] \subseteq \partial \mathbb D \) und \( \tilde f \) ist nullstellenfrei (die hat man gerade "rausgekürzt").
Zeige, dass solche \( \tilde f \) konstant auf \( \overline{\mathbb D} \) sein müssen. Wegen der Stetigkeit und \( |\tilde f(z)| = 1 \) für \( |z| = 1 \) folgt dann, dass diese Konstante auch betragsmäßig 1 sein muss.