Zeigen Sie, dass \left|\beta_{w}(z)\right|=1

Question

Kann mir jemand bitte bei der Aufgabe helfen?

Für \( w \in \mathbb{D} \) definieren wir
\( \beta_{w}: \overline{\mathbb{D}} \rightarrow \mathbb{C}, \quad \beta_{w}(z)=\frac{z-w}{1-\bar{w} z} . \)
(a) (2P) Zeigen Sie, dass \( \left|\beta_{w}(z)\right|=1 \) für alle \( z \in \partial \mathbb{D} \).
(b) (2P) Zeigen Sie, dass \( \beta_{w}(z) \in \mathbb{D} \) für alle \( z \in \mathbb{D} \).
(c) (6P) Die Funktion \( f: \overline{\mathbb{D}} \rightarrow \mathbb{C} \) sei stetig in \( \overline{\mathbb{D}} \) und holomorph in \( \mathbb{D} \). Sie habe in \( \mathbb{D} \) die Nullstellen \( w_{1}, \ldots, w_{n} \) und keine anderen. Alle Nullstellen seien einfach und es gelte \( |f(z)|=1 \) für alle \( z \in \partial \mathbb{D} \). Zeigen Sie, dass es ein \( a \in \partial \mathbb{D} \) gibt, so dass
\( f(z)=a \prod \limits_{j=1}^{n} \beta_{w_{j}}(z) \)

Comments

zu c)

Dir sollte klar sein, dass die Nullstellen nicht auf dem Rand sondern im Einheitskreis liegen. Also \( |w_i| < 1\)

Gleichzeitig haben die \( \beta_{w_i} \) keine Singularitäten in \( \overline{\mathbb D} \). Und die einfachen Nullstellen \( w_i \).

Wenn man dann

$$ \frac{f(z)}{\prod_{j=1}^n \beta_{w_j}(z)} $$

betrachtet stellt man fest, dass die entstanden Singularitäten gerade hebbar sind (oben NST Ordnung 1 und unten auch)

Also schnappt man sich eine holomorphe Fortsetzung dieses Bruchs \( \tilde f \).

Es gilt dann \( \tilde f \) ist stetig auf \( \overline{\mathbb D}  \), holomorph auf \( \mathbb D \), erfüllt auch \( \tilde f[\partial \mathbb D] \subseteq \partial \mathbb D \) und \( \tilde f \) ist nullstellenfrei (die hat man gerade "rausgekürzt").

Zeige, dass solche \( \tilde f \) konstant auf \( \overline{\mathbb D} \) sein müssen. Wegen der Stetigkeit und \( |\tilde f(z)| = 1 \) für \( |z| = 1 \) folgt dann, dass diese Konstante auch betragsmäßig 1 sein muss.

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Was soll den \( \mathbb{D} \) sein?