Aufgabe:
Für \( n \in \mathbb{N} \) definiere \( A_{k}^{(n)}:=e^{\frac{2 \pi i k}{n}} \in \mathbb{C} \) für \( k=0, \ldots, n-1 \) und betrachte den Polygonzug \( P_{n} \) mit Eckpunkten \( A_{0}^{(n)}, A_{1}^{(n)}, \ldots, A_{n}^{(n)} \). Das heißt
\( P_{n}=\left[A_{0}^{(n)}, A_{1}^{(n)}\right] \cup\left[A_{1}^{(n)}, A_{2}^{(n)}\right] \cup \ldots \cup\left[A_{n-1}^{(n)}, A_{n}^{(n)}\right], \)
wobei \( [A, B] \) die Strecke zwischen \( A, B \in \mathbb{C} \) bezeichnet.
(a) Sei \( L_{n} \) die Länge des Polygonzugs \( P_{n} \). Zeigen Sie \( L_{n}=2 n \sin \left(\frac{\pi}{n}\right) \).
(b) Berechnen Sie \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} L_{n} \).
