Welchen Wert hat phi ' (1)?

Question

Aufgabe:

f(x)= e^x +x

Begründung weshalb f(x) eine Umkehrfunktion besitzt?

Antwort: Da die Funktion streng monoton wachsend ist.

Frage 2: Welchen Wert hat phi(1)? (phi = Umkehrfunktion)

Hier bin ich auf die Lösung phi=0 gekommen, da f(0)=1 ist.

Frage 3: Welchen Wert hat phi ' (1) ?

Hier bin ich mir nicht sicher ob ich richtig liege und bitte um einen Tipp bzw. Lösungshinweis:

1. Ich habe die Funktion f(x) abgeleitet : f ' (x) = e^x + 1

2. Anschließend den aus Aufgabe 1 ermittelten Wert eingesetzt:  f ' (0) = 2

3. Ableitung der Umkehrfunktion:  phi ' (1) = 1 / (f ' (0)) = 1/2

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand sagen ob das richtig ist oder habe ich etwas vertauscht?

Bin mir etwas unsicher..

Vielen Dank!!!!!

Answer 1

Hallo,

zu Frage 1:

Streng monotones Wachsen impliziert erstmal nur Injektivität. Du brauchst für die Bijektivität auch noch die Surjektivität. Dafür bräuchte man streng genommen  den Definitions- und Zielbereich.

Zu Frage 2: Richtig

Zu Frage 3:

Umkehrregel: $$\varphi'(1)=\frac{1}{f'(\varphi(1))}=\frac{1}{f'(0)}=?$$

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Super, vielen Dank, das war hilfreich!