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Die gegebene Punktmenge$$Z=\{(x;y;z)\in\mathbb R^3\,\big|\,x^2+y^2\le2^2\,\land\,-3\le z\le0\}$$beschreibt ein Volumen \(V\). Wir tasten es mit einem Ortsvektor \(\vec r\) in Zylinderkoordinaten ab:$$\vec r=\begin{pmatrix}r\cos\varphi\\r\sin\varphi\\z\end{pmatrix}\quad;\quad dV=r\,dr\,d\varphi\,dz\quad;\quad r\in[0;2]\;;\;\varphi\in[0;2\pi]\;;\;z\in[-3;0]$$
Beachte bitte, dass das Volumenelement \(dV=dx\,dy\,dz\) durch den Übergang zu Zylinderkoordinaten verzerrt wird, sodass \(dV=r\,dr\,d\varphi\,dz\) gilt.
Nach diesen Vorüberlegungen können wir das Integral wie folgt berechnen:$$I=\int\limits_Z(z^2-6z+9)\,e^{(z-3)\sqrt{x^2+y^2}}\,dV=\int\limits_Z(z-3)^2\,e^{(z-3)\sqrt{x^2+y^2}}\,dV$$$$\phantom I=\int\limits_{r=0}^2\,\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\;\int\limits_{z=-3}^0(z-3)^2e^{(z-3)\,r}\,r\,dr\,d\varphi\,dz=\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}d\varphi\int\limits_{z=-3}^0(z-3)^2\left(\;\,\int\limits_{r=0}^2 e^{(z-3)r}r\,dr\right)dz$$Das Integral über \(d\varphi\) ist gleich \(2\pi\).
Das Integral über \(dr\) bestimmen wir mittels partieller Integration:$$\int\limits_{r=0}^2\underbrace{e^{(z-3)r}}_{=u'}\cdot\underbrace{r}_{=v}\,dr=\left[\underbrace{\frac{e^{(z-3)r}}{z-3}}_{=u}\cdot\underbrace{r}_{=v}\right]_{r=0}^2-\int\limits_{r=0}^2\underbrace{\frac{e^{(z-3)r}}{z-3}}_{=u}\cdot\underbrace{1}_{=v'}dr$$$$\qquad=\frac{e^{2(z-3)}}{z-3}\cdot2-\left[\frac{e^{(z-3)r}}{(z-3)^2}\right]_{r=0}^2=\frac{e^{2(z-3)}\cdot2(z-3)}{(z-3)^2}-\frac{e^{2(z-3)}}{(z-3)^2}+\frac{1}{(z-3)^2}$$$$\qquad=\frac{e^{2(z-3)}(2z-7)+1}{(z-3)^2}$$
Wir setzen die Integrale über \(d\varphi\) und über \(dz\) oben ein:$$I=2\pi\int\limits_{z=-3}^0(z-3)^2\cdot\frac{e^{2(z-3)}(2z-7)+1}{(z-3)^2}\,dz$$$$\phantom I=2\pi\int\limits_{-3}^02z\,e^{2(z-3)}\,dz-2\pi\int\limits_{-3}^07e^{2(z-3)}+2\pi\int\limits_{-3}^0\,dz$$$$\phantom I=\frac{\pi}{e^6}\int\limits_{-3}^04z\,e^{2z}\,dz-\frac{7\pi}{e^6}\int\limits_{-3}^02e^{2z}+2\pi\int\limits_{-3}^0\,dz$$$$\phantom I=\frac{\pi}{e^6}\left[e^{2z}(2z-1)\right]_{-3}^0-\frac{7\pi}{e^6}\left[e^{2z}\right]_{-3}^0+2\pi\left[z\right]_{-3}^0$$$$\phantom I=\frac{\pi}{e^6}\left(-1+\frac{7}{e^6}\right)-\frac{7\pi}{e^6}\left(1-\frac{1}{e^6}\right)+2\pi\left(0+3\right)$$$$\phantom I=6\pi-\frac{8\pi}{e^6}+\frac{14\pi}{e^{12}}\approx18,787528\ldots$$
