Unabhängigkeit der Axiome beweisen

Question

Projektive Geometrie.

Sei P die Menge von Punkten, G die Mende von Gerade und R eine Relation R ⊂ P × G

1.) Genau eine Gerade geht durch jeweils zwei Punkte.
2.)  Min. drei Punkte liegen auf jeder Geraden & es gibt vier Punkte, von denen je drei nicht kollinear sind.
3.)  Zu jeweils zwei Geraden g, h ∈ G mit g ≠ h ∃! Schnittpunkt P ∈ g ∩ h.

Nun sollen drei geometrie Beispiele angeben werden, die die Unabhängigkeit der Axiome beweisen.

Kann mir einer helfen?

Answer 1

Gib eine Geometrie an, die Axiome 1.), 2.) und 3.) erfüllt,

Gib eine Geometrie an, die Axiome 1.) und 2.) erfüllt, aber nicht Axiom 3.).

Gib eine Geometrie an, die Axiome 1.) und 3.) erfüllt, aber nicht Axiom 2.).

Gib eine Geometrie an, die Axiome 2.) und 3.) erfüllt, aber nicht Axiom 1.).

Comments

Ja, genau. Das ist die Aufgabe. Mir fällt aber nichts ein. Könntest du mir behilflich sein?

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Kann mir jemand helfen?

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Welche \(P\) und \(G\) hast du denn schon untersucht?

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Ich komme leider nicht drauf. Daher keine :/

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Hast du eine Idee?

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Ich komme leider nicht drauf.

Verstehe ich das richtig? Du schaffst es nicht, dir Mengen auszudenken? Mengen ausdenken ist eine der einfachsten Sachen in der Mathematik überhaupt.

Hier ein paar Beispiele:

\(P=G = \emptyset\)

\(P = \{1\}, G = \{\{1\}\}\)

\(P=\emptyset,G=\{1\}\)

\(P=\{1,2,3\},G=\{\{1,2,3\}\}\)

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Nein, ich meinte damit, dass ich allgemein auf dem Schlauch stehe. Das Problem ist, dass ich jetzt zBsp. nicht weiß, wie ich anhand dieser Beispiele zeigen kann, dass Punkt 2 erfüllt ist.

Ein Beispiel für eine Geometrie würde mir weiter helfen zum Bsp für eine Geometrie das Punkt 1.) und 2.) erfüllt aber 3.) nicht...

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Danke trotzdem..

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\(P=G = \emptyset\)

Es gibt keine Punkte. Also gibt es zu jeder zweielementigen Teilmenge \(T\) von \(P\) genau eine Gerade, die durch die Punkte von \(T\) verläuft. Somit ist 1) erfüllt.

Es gibt keine Geraden. Also gibt es zu jeder zweielementigen Teilmenge \(T\) von \(G\) genau einen Punkt in \(P\), der auf jeder Gerade von \(T\) liegt. Somit ist 3) erfüllt.

Es gibt keine vier Punkte. Also ist 2) nicht erfüllt.

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Für den Fall dass 1.) und 2.) erfüllt ist aber 3.) nicht hätte ich dann G = ∅ und P = {1,2,3,4}

Es gibt keine Punkte. Somit ist 1.) erfüllt.

Es gibt 4 Punkte, also ist 2.) erfüllt.

Es gibt genau eine Gerade. Daher gibt es keinen Schnittpunkt. Somit ist 3.) nicht erfüllt.

Stimmt es soweit?