Bestimme alle Lösungen γ : R → R von γ′ = v(γ) zum Anfangswert γ(0) = −1.

Question

Hallo,

ich beschäftige mich mit Analysis und bin auf diese Aufgabe gestoßen, bei der ich nicht weiß was ich machen soll.

Ich würde mich über eine Erklärung/Hilfestellung sehr freuen!

Aufgaben:

Sei v : IR → IR gegeben durch v(x) = √IxI

Bestimme alle Lösungen γ : R → R von γ′ = v(γ) zum Anfangswert γ(0) = −1.

Comments

Bedeutet Deine Frage, dass Du nicht weißt, dass dies ein Anfangswerproblem ist oder dass Du den Typ "getrennte Veränderliche" nicht (er)kennst oder ...

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Ich weiß nicht, wie ich alle Lösungen bestimmen kann. Leider ist mir der Begriff "getrennte Veränderliche" ebenfalls nicht geläufig.

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Vielleicht solltest Du mal in Dein Lehrmaterial schauen

Answer 1

Du musst ja y ' = √( |x|)  betrachten.

FALSCH !  siehe Kommentar. Ich versuche

nachher mal zu korrigieren mit y ' = √( |y|)

Comments

Du musst ja y ' = √( |x|)  betrachten

Warum ?

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Ach Unsinn, da habe ich nicht ordentlich gelesen.

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Ich habe mir die "getrennte Veränderliche" mal angeschaut und bin zu diesem Ergebnis gekommen. Wie kann ich aber weiterrechnen? Ich müsste ja eigentlich nach y umformen, sodass ich dann danach mein Anfangswert einsetzen kann oder nicht?

Text erkannt:

Lös: "Trenug de variable 4
\( \begin{aligned} & \gamma^{\prime}=\sqrt{|\gamma|} \\ \Leftrightarrow & \frac{d y}{d x}=\sqrt{|\gamma|} \\ \Leftrightarrow & \frac{d \gamma}{d x}=\sqrt{|\gamma|} \cdot 1|: \sqrt{|\gamma|}| \cdot d x \\ \Leftrightarrow & \frac{1}{\sqrt{|\gamma|}} d y=1 d x \mid \int \text { integneren } \\ \Leftrightarrow & \frac{\partial y}{\mid x} \quad \int \frac{1}{\sqrt{|\gamma|}} d y=\int 1 d x \\ \Leftrightarrow & \frac{2 y}{\sqrt{|\gamma|}}+c=x+c \end{aligned} \)

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Und das c auf der linken Seite kannst du weglassen,

Und es ist  2y / √|y|  = 2√y für y≥0

          und ... =  -2√y für y<0.

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Und es ist 2y / √|y| = 2√y für y≥0

        und ... =  -2√y für y<0.

könnten sie erläutern, wie sie darauf gekommen sind? Ich konnte ihren schritt nicht nachvollziehen. Vielen Dank im Voraus für Ihre Hilfe! Wären dann alle Lösungen von γ : R → R von γ′ = v(γ) zum Anfangswert γ(0) = −1 2√y und -2√y ?

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Das Rezept funktioniert immer wieder :  Wenn der Prof nicht möchte, dass zu viele den Test bestehen, dann baut er eine Betragsfunktion ein.

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Leider habe ich es immer noch nicht nachvollziehen können, aber trotzdem Danke fürs Helfen!

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Leider habe ich es immer noch nicht nachvollziehen können - völlig logisch.

Mein Kommentar sollte m. dazu animieren, seinen Beitrag zu korrigieren.

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.. und da er das immer noch nicht getan hat - hier die Auflösung :

Stammfunktion von 1/√|y| ist 2*sign(y)*√|y| und daraus ergibt sich die Lösung
y = 1/4 * (x-2) * |x-2|

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Wenn der Prof nicht möchte, dass zu viele den Test bestehen, dann baut er eine Betragsfunktion ein.

... und die ganz gemeinen schreiben dann noch davor:

"Bestimme alle Lösungen"

wie wär's als zweite Lösung mit$$y(x) = \begin{cases} -\frac14(x-2)^2& x \le 2\\ 0 & x \gt 2\end{cases}$$

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Wenn man noch mehr Lösungen haben will, setzt man den ersten Teil durch eine beliebig langes Stück Null-Lösung fort und "steigt dann um" auf eine Parabel analog zum ersten Teil, aber mit anderem Vorzeichen....