Determinante mit Variablen bestimmen

Question

Aufgabe:

1.) Ich möchte für folgende Matrix die Determinante bestimmen:

A=\( \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ x & 2x & 0\\ 3y & y & y^2 \end{pmatrix} \)

2.) Anschließend möchte ich wissen für welche Werte von y und x die Matrix nicht invertierbar ist.
Problem/Ansatz:

zu 1.) Ich habe die Determinante mit Sarrus ausgerechnet:

D = y² x-10yx

Da ich immer etwas schwer von Begriff bin, weiß ich nicht ob das überhaupt die Lösung ist. Muss ich jetzt noch x & y ausrechnen? Wenn ja wie?

zu 2.) Es kann nicht invertiert werden, wenn die Determinante 0 ist. Wie komme ich mit dieser Information auf x & y? Null setzten?

Vielen Dank für's Durchlesen

Answer 1

Aloha :)

Im ersten Schritt ziehen wir den Faktor \(x\) aus Zeile 2 und den Faktor \(y\) aus Zeile 3 heraus. Danach entiwckeln wir die Determinante nach der letzten Spalte:

$$\operatorname{det}(A)=\begin{vmatrix}1 & 1 & 2\\x & 2x & 0\\3y & y & y^2\end{vmatrix}=xy\begin{vmatrix}1 & 1 & 2\\1 & 2 & 0\\3 & 1 & y\end{vmatrix}=xy\left(2(1-6)+y(2-1)\right)=-10xy+xy^2$$

Die Matrix kann ist genau dann nicht invertierbar, wenn ihre Determinante zu Null wird:$$0\stackrel!=-10xy+xy^2=xy\cdot(y-10)$$

Die Matrix ist also nicht invertierbar, falls \(x=0\), \(y=0\) oder \(y=10\) gilt.