Liebe Mathefreunde:
Ich habe folgende Fragen: Die ohne Beweis nur mit einem Ja oder nein beantwortet werden sollen. (Ich werde zu jeder Frage auch meinen Ansatz bzw. Vermutung packen, damit ihr Sie beurteilen könnt.
Es wurden sehr viele Fragen, ich wäre dankbar, wenn Sie mir weiterhelfen könnten. Mir und meinen Kommilitonen, da wir in der kommenden Wochen eine Klausur schreiben! Danke im Voraus, wenn Sie Zeit haben sollten, wäre eine kurze Schilderung einfach nützlich für die Verständigkeit.
1) Eine Funktion f : R → R ist genau dann bijektiv, wenn sie Injektiv ist und ihr Wertebereich W = R ist
Vermutung: Wahr, W=R heißt für jeden Punkt aus dem Wertebereich existiert ein Element aus dem Definitionsbereich.
2) Seien N und M zwei abzählbare Mengen und f : N → M Injektiv. Dann sind N und M gleich groß.
Vermutung: Falsch, die Funktion kann auch Injektiv sein, aber die beiden Mengen müssen nicht bedingt gleich groß sein.
3) Seien f : N → M Injektiv und g : M → P surjektiv. Dann ist g ◦ f : N → P Injektiv.
Vermutung: Falsch, wäre M → P Injektiv dann wäre g ◦ f : N → P Injektiv.
4) Sei f : N → N surjektiv. Dann ist f Injektiv.
Vermutung: Wahr, wir befinden uns in N also kein negatives Element (Nur höchstens 1x Punkt für jedes Y Element) und durch die Subjektivität denken wir vom Ursprung bis unendlich die Element ab (da surjektiv = mind 1x punkt von x auf y existiert)
5) Eine Relation, die nicht symmetrisch ist, ist antisymmetrisch
Vermutung: Falsch, Angenommen wir haben M = { 1 , 2 , 3 , 4 }
1 => 2 3 <=> 4 Also Pfeil zwischen 1 und 2 sowie ein Doppelpfeil zwischen 3 und 4 so: Symmetrie fällt raus wegen dem einzelnen Pfeil sowie die Anti Symmetrie wegen dem Doppelpfeil
6) Es gilt sowohl ∅ ⊂ P(∅) als auch ∅ ∈ P(∅)
Vermutung: Ich bin mir nicht ganz sicher:
Bsp: Sei M = { 1,2,3,4,5,6}
1 ∈ M 2 ∈ M und {1,2,3} ⊂ M "Also einzelne Zahlen sind Elemente aus der Menge und Gruppen sind Teilmengen.
Zurück zur Potenzmenge von der Leeren Menge: Sicher ist die Leere Menge ist ein Element aus P(∅) aber wie schaut es mit der Teilmenge aus?
7) Seien M, N endliche Mengen mit |N| > |M|. Dann ist jede Abbildung f : M → N Injektiv
Vermutung: Ich bin mir leider nicht ganz sicher, ob die Mächtigkeit N und M gemeint ist oder die Beträge von N und M
Wir nehmen an, die Mächtigkeit von M und N sind gefragt.
Dann: Falsch, ich würde hier mit einem Nein beantworten, die Begründung wäre von meiner Seite aus: "nicht immer, muss die Funktion Injektiv sein"
8) Seien M, N Mengen, M endlich, und f : M → N surjektiv. Dann ist N endlich
Vermutung: nicht Zutreffend, M = Definitionsbereich kann ruhig irgendwann enden
Da N auch irgendwann endet (Wertebereich) kann es sein, dass bsp: N bis -30 läuft also ab -30<-31 keine Elemente für F(x) = y existiert ist es nicht Surjektiv
9) Seien M, N, P Mengen. Es gelte M ∩ N = M ∩ P. Dann gilt N = P
Sei M = die Leere Menge und N = P = beliebig aber verschieden so gilt N ungleich P
10) Es gilt {1} ⊆ P({1, 2})
Vermutung: {1} ist keine "echte Teilmenge von P({1, 2}) "
{1,2} Wäre eine Teilmenge von P({1, 2}) bzw. {1} wäre ein Element aus P({1, 2})
11) Seien M, N, P Mengen. Es gilt M ∩ (N ∪ P) = (M ∪ N) ∩ (M ∪ P).
Vermutung: Wahr, Rechengesetzte
12) Es gilt kgV(35, 14) = 10 ggT(35, 14)
Vermutung: Wahr,
kgV(35, 14) 35 = 7*5 14 = 7*2 Es gilt: 7*5*2 = 70
10 ggT(35, 14) 35 = 14 * 2 + 7 => 14 = 7 * 2 + 0
ggt von (35 , 14) = 7 und 7*10 = 70 = 7*5*2
13) Die letzte Frage:
Wenn 51 Apfelpflücker gleichzeitig mit Eimern, in die 50 Äpfel passen, Äpfel
pflücken, dann sind zu jedem Zeitpunkt in mindestens zwei Eimern gleich viele
Äpfel
Vermutung: Nicht wahr "Schubfachprinzip maybe?"
Aber leider habe ich keine Begründung weshalb.
