Hallo,
Sei ABCD ein Trapez, das einen Umkreis besitzt. Zeigen Sie: ABCD ist ein symmetrisches Trapez.
Die beiden parallelen Seiten des Trapez seien \(a\) und \(c\). Besitzt das Trapez einen Umkreis, so muss sein Mittelpunkt \(U\) sowohl auf der Mittelsenkrechten von \(a\) als auch auf der Mittelsenkrechten von \(c\) liegen. Da die Mittelsenkrechten jeweils senkrecht auf ihren Seiten stehen und \(a \parallel c\), müssen die beiden Mittelsenkrechten entweder (echt) parallel verlaufen oder identisch sein. Da sie einen gemensamen Punkt \(U\) besitzen (s.o.) können sie nur identisch sein.
Daraus folgt, dass die beiden Endpunkte von \(a\) und die beiden Endpunkte von \(c\) jeweils symmetrisch zur gemeinsamen Mittelsenkrechten von \(a\) und \(c\) liegen. Also ist ein Trapez mit Umkreis symmetrsch zu der Mittelsenkrechten von \(a\) und \(c\).
Prüfen Sie, welche anderen Viereckstypen Sehnenvierecke sind.
Na ja - zunächst einmal wäre zu klären, welche Viereckstypen es überhaupt gibt. Konzentriert man sich auf die 'üblichen Verdächtigen', so reicht es aus, zu der Eigenschaft 'Sehnenviereck' (Umkreis) weitere Eigenschaften hinzuzufügen und dann zu klären, um welchen Viereckstyp es sich handelt.
Füge eine von dreien hinzu (+1):
- Eigenschaft 'Tangentenviereck': Sehnentangentenviereck
- Eigenschaft 'zwei parallele Seiten' (Trapez): symmetrisches Trapez (s.o.)
- Eigenschaft 'Halbierung der Diagonale': schiefer Drachen mit Umkreis
Füge zwei von dreien hinzu (+2):
- 'Tangentenviereck' & 'zwei parallele Seiten': symmetrisches Trapez mit Inkreis
- 'Tangentenviereck' & 'Halbierung der Diagonale': Drachenviereck mit rechtwinkligen "Ohren"
- 'zwei parallele Seiten' & 'Halbierung der Diagonale': Rechteck
alles (+3):
- Quadrat
Welche Viereckstypen sind Tangentenvierecke.
gehe vor, wie oben:
(+1): Sehnentangentenviereck, Trapez mit Inkreis, Drachenviereck
(+2): symmetrisches Trapez mit Inkreis, Drachenviereck mit rechtwinkligen "Ohren", Raute
(+3): Quadrat
Gruß Werner
