Bruch ableiten, x im Nenner

Question

Aufgabe:

Laut Lösung ist die Ableitung von \( \frac{1}{x^q} \)  mit q > 0 = -q * x^-q-1  , also \( \frac{-q}{x^q+1} \)

Problem/Ansatz:

Ich weiß absolut nicht, wie man darauf kommt. Kann mir das bitte jemand Schritt für Schritt erklären?

ich dachte, ich könnte auch einfach die Quotientenregel zum Ableiten nutzen. Dann würde ich zuerst den Zähler nach x ableiten, mal den Nenner, das wäre schonmal 0 * den nenner, also fällt das weg. Und dann Minus den Zähler mal abgeleitet den Nenner, dann hätte ich auch das Minuszeichen vorne.

Aber bei der Quotientenregel wird der Nenner ja quadriert, und nicht einfach nur der Exponent um 1 erhöht. Das verwirrt mich.

weil dann müsste im Nenner ja ()^2 stehen.

Wieso darf ich hier nicht die Quotientenregel nutzen?

Answer 1

$$f(x)=\frac{1}{x^q}=x^{-q}      $$

Den Exponenten als Faktor nach vorne ziehen und im Exponenten 1 subtrahieren:

$$ f'(x)=-q\cdot x^{-q-1}$$

Mit Quotientenregel:

$$ u=1 ; v=x^q \Rightarrow u'=0 ; v'=q\cdot x^{q-1}$$

$$f'(x)=\frac{0\cdot x^q - 1\cdot q\cdot x^{q-1}}{x^{2q}}=-q\cdot x^{-q-1}$$

Comments

Und das Ableiten = -q * x^-q-1

DANKE

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Bitte.

:-)

Answer 2

Wieso darf ich hier nicht die Quotientenregel nutzen?

Wer behauptet das???

Du musst (wenn du diesen umständlichen Weg wählst) sie nur richtig nutzen.

Die Ableitung nach Quotientenregel ist

\( \frac{-qx^{q-1}}{(x^q)^2} \), nach einem Potenzgesetz ist das \( \frac{-qx^{q-1}}{x^{2q}} \), und nach einem anderen Potenzgesetz ist das \( -q\cdot x^{q-1-2q} \) bzw. \( -q\cdot x^{-1-q} \) .

Comments

Also darf ich die Ableitung so stehen lassen, und das ist richtig?

Also den Bruch, der nach "nach einemPotenzgesetz ist das..."

Auf das komme ich nämlich mit Quotientenregel auch, und so sollte es doch auch ausreichen, Wenn ich das so stehen lasse.

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Wenn du das so stehen lässt dokumentierst du aber, dass du elementare Potenzgesetze nicht ausreichend beherrschst. Bis zu den Antworten warst du ja der Meinung, dass dein Ergebnis falsch ist.

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Ok. Kannst du mir sagen, wie das weitere Potenzgesetz funktioniert? Ich vereine das untere x mit dem oberen, indem ich den Exponent des Unteren minus den des oberen rechne. Stimmt. Und bei Multiplikation hätte ich die Exponenten addieren können.

Bei Division, so wie hier, werden sie subtrahiert.

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Ich vereine das untere x mit dem oberen, indem ich den Exponent des Unteren minus den des oberen rechne.

Jetzt hast du unten mit oben vertauscht.

Außer den beiden von dir genannten Potenzgesetzen gibt es noch

\((a^b)^c = a^{b\cdot c}\). Ich habe es im ersten Schritt angewendet in der Form \((a^b)^2 = a^{2\cdot b}\).

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Ja, das kannte ich bereits! Hatte nur das mit dem exponenten von unten vergessen, dass man den dann nach oben nehmen kann und dadurch den Bruch auflösen kann!

Answer 3

$$f(x)=\frac{1}{x^q} = 1 \cdot x^{-q} \newline f'(x) = -q \cdot x^{-q - 1} = -q \cdot x^{-(q + 1)} = \frac{-q}{x^{q+1}}$$

Ist das so klar?

Comments

Mit Quotientenregel

$$f(x) = \frac{1}{x^q} \newline f'(x) = \frac{0 \cdot x^q - 1 \cdot q \cdot x^{q - 1}}{(x^q)^2} = \frac{- q \cdot x^{q - 1}}{x^{2 \cdot q}} = \frac{- q \cdot x^{q - 1 - 2 \cdot q}}{x^{2 \cdot q - 2 \cdot q}} = \frac{- q \cdot x^{- q - 1}}{1} = -q \cdot x^{-(q + 1)}= \frac{-q}{x^{q+1}}$$