Bei der angegebenen Lösung ist ein Fehler, es muss heissen
$$ x(t) = c_1 e^t \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} +c_2 e^{2t} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + c_3 e^{2t} \begin{pmatrix} t \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} $$
Aus $$ x(0) = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} $$ folgt
$$ c_2 = 3 \ ; \ c_1 + c_3 = -1 \ ; \ 2c_1 + c_3 = 0 $$ und damit \( c_1 = 1 \), \( c_2 = 3 \) und \( c_3 = -2 \)
Auf die Lösung kommt man auch, wenn man die Jordansche Normalform bestimmt und ein Transformationsmatrix \( S \) mit $$ J = S^{-1} A S $$
\( J \) hat folgendes Aussehen $$ J = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & \end{pmatrix} $$ und $$ S = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$
Die Lösung von $$ \dot x(t) = Ax $$ mit \( x(0) = x_0 = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \)
lautet $$ x(t) = e^{At}x_0 $$ es gilt weiter
$$ e^{At} = S e^{Jt} S^{-1} = S e^{Dt} e^{Nt} S^{-1} $$ wegen \( J = D + N \) wobei \( D \) eine Diagonalmatrix mit den Eigenwerten ist und \( N \) eine nilpotente Matrix ist mit \( N^2 = 0 \)
Damit folgt $$ x(t) = S e^{Dt} e^{Nt} S^{-1} x_0 = S e^{Dt} (I +Nt) S^{-1}x_0$$
Einsetzen gibt die gleiche Lösung.
